Teoria dos Grupos

Teoria dos Grupos

Grupo é um conjunto regido por uma lei de composição interna que satisfaz três propriedades fundamentais: a associativa, a do elemento neutro e a do elemento simétrico. Nesses termos, lei de composição interna é uma operação entre os elementos de um conjunto cujo resultado também pertence ao conjunto. Essa lei depende da qualidade dos componentes do grupo. Se, por exemplo, ele é formado por números, pode ser multiplicativo, e nesse caso a lei de composição se denomina produto; ou aditivo, quando a lei de composição se denomina soma. Se um grupo aditivo atende à propriedade comutativa, diz-se que é um grupo abeliano.

Geralmente, a palavra "grupo" designa um conjunto de elementos análogos, mas em matemática o conceito que ela expressa adquire significado mais retrito e preciso. A matemática moderna procura enunciar as propriedades das operações dentro de conjuntos, que podem ser definidos em função de uma estrutura comum.

Exposição geral - Até os séculos XVIII e XIX os grupos não eram reconhecidos como sistemas matemáticos. Um dos primeiros a atribuir-lhes tal caráter foi o matemático francês Joseph-Louis Lagrange. Outro matemático, também francês, Augustin-Louis Cauchy, iniciou o estudo dos grupos de permutação, entendendo-se permutação como a função que reestrutura um número finito de elementos ou, mais especificamente, função biunívoca de um conjunto finito em relação a si mesmo. Assim, o grupo de permutação será aquele cujos elementos são permutações de um mesmo conjunto e em que o produto de duas permutações coincide com a permutação obtida ao se aplicar cada uma delas, de forma sucessiva. Posteriormente, o conceito de grupo transformou-se num artifício de grande utilidade para resolver complexos problemas no campo da álgebra de conjuntos.

Na teoria de conjuntos definem-se como grupos os conjuntos que satisfaçam uma série de propriedades. Representando-se com o símbolo * uma operação qualquer, que seja uma lei de composição interna definida dentro de um conjunto finito e não vazio, e designando-se com letras minúsculas cada um dos elementos que o constituem, um grupo deve satisfazer os axiomas seguintes:

1. A lei é associativa:

                               a* (b * c) = (a * b) * c

e pode-se consignar o resultado como a * b * c. Isto é, é possível operar primeiro os elementos a e b e seu resultado com c. O resultado é o mesmo que se obtém ao operar primeiro b com c e o resultado com a.

2. Existe um elemento neutro, ou seja, um elemento e que, operado com a, sendo a qualquer outro elemento do conjunto, dê como resultado a:

                                e * a = a * e = a

3. Existe um elemento simétrico: se um elemento opera com outro e o resultado da lei de composição é o elemento neutro, diz-se que o primeiro é simétrico do segundo e vice-versa:

                                     a * a' = e

ou seja, a' é o elemento simétrico de a.

4. Um grupo denomina-se abeliano quando a lei de composição interna definida no conjunto satisfaz a propriedade comutativa. Por isso, podem-se empregar indistintamente os termos grupo comutativo e grupo abeliano:

                                    a * b = b * a

De acordo com essa propriedade, o resultado da operação dos elementos de um grupo não depende da ordem em que nela aparecem.

Desses axiomas derivam uma série de propriedades elementares dos grupos. Assim, por exemplo, o elemento neutro de uma lei de composição é único, e a relação de simetria é recíproca. Se a' é o simétrico de a, a é o simétrico de a´. O simétrico de um elemento é único.

Tipos de grupos - A estrutura de grupo é comum a diferentes tipos de conjunto, em que se definem leis também diversas. Os números inteiros e as frações formam um grupo abeliano para a operação de multiplicação, e os números inteiros positivos e negativos são um grupo abeliano em relação à adição. Nem todo grupo, no entanto, é constituído de números. Em geometria, por exemplo, os deslocamentos também constituem um grupo. Tal é o caso quando, num plano, parte-se de um ponto e chega-se a outro por meio de deslocamento em linha reta. Outro exemplo geométrico são as simetrias de um cubo: as rotações de 90o em volta dos eixos que passam pelos pontos médios das faces superior e inferior apresentam, da mesma forma, estrutura de grupo.

Subgrupos - Chama-se subgrupo o conjunto incluído em outro, de modo que ambos apresentem estrutura de grupo para uma determinada lei de composição interna. Todo grupo admite dois subgrupos impróprios: um é o subconjunto formado unicamente pelo elemento neutro, o outro é o próprio grupo, considerado como subconjunto de si mesmo. Em geometria, as rotações formam um subgrupo dentro do grupo dos movimentos. Os múltiplos de um mesmo número inteiro formam um subgrupo do grupo aditivo dos números inteiros.

Isomorfismo - Dois grupos são isomorfos nos casos em que existe uma relação bijetiva compatível com as leis de composição definidas em ambos. A relação bijetiva define-se como aquela que é ao mesmo tempo injetiva - se cada um dos diferentes elementos de um conjunto tem uma imagem diferente no segundo conjunto - e epijetiva - se todo elemento do segundo conjunto é imagem de um elemento do primeiro.

Os elementos neutros de grupos isomorfos se correspondem particularmente, e o mesmo ocorre com os elementos simétricos. Dois grupos isomorfos diferenciam-se na notação, mas são tratados formalmente de maneira análoga, isto é, as mesmas propriedades são válidas para ambos. Nessa abstração radica a importância dos isomorfismos entre grupos, bem como, em geral, entre estruturas algébricas. Se o isomorfismo se estabelece entre um conjunto e ele mesmo, diz-se que se trata de um automorfismo. Exemplo de automorfismo é a relação biunívoca existente entre os números racionais e seus inversos.

Aplicações - As aplicações da teoria dos grupos estendem-se virtualmente a todos os domínios da matemática. Os grupos abelianos, como suporte dos conceitos de anel, módulo, corpo e espaço vetorial, representam mais da metade da álgebra. A teoria dos grupos topológicos é um capítulo independente da topologia geral. A teoria dos grupos, do norueguês Marius Sophus Lie, domina diversos e importantes campos das ciências aplicadas, como a mecânica, a teoria da relatividade, a física de partículas e a cristalografia.