Aritmética, Teoria, Classificação dos Números e Operações Aritméticas Elementares

Aritmética, Teoria, Classificação dos Números e Operações Aritméticas Elementares

A aritmética é a parte da matemática que trata do estudo elementar dos números, das relações entre eles e das técnicas de realização de operações básicas, como a soma ou adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação, a radiciação e a logaritmação. Dessa forma, as hipóteses e investigações aritméticas têm seu campo de trabalho centrado na noção de número, entendido como expressão de pluralidade ou repetição de objetos e fenômenos.

Ao longo de sua evolução, a aritmética, cuja origem remonta às civilizações egípcia e babilônica, experimentou uma mudança radical, responsável pelo desenvolvimento da moderna aritmética abstrata, nos séculos XIX e XX.

História - O conjunto de referências históricas sobre o raciocínio aritmético baseou-se exclusivamente em dados o problemas de ordem prática, já que o conceito de abstração só surgiu no âmbito científico-matemático após este haver alcançado um grau relativamente elevado de evolução. Exemplo disso é a utilização do sistema de numeração decimal, que, certamente, teve origem nos dez dedos da mão, usados como meios de enumeração pelo homem primitivo.

Os precários estudos aritméticos das civilizações mesopotâmica e egípcia coincidiram com o estabelecimento dos sistemas de representação gráfica de números. Entretanto, esses antigos códigos de numeração escrita, cujos caracteres se denominam numerais, apresentavam sérios inconvenientes à execução de operações mais complexas que as quatro operações elementares (adição, subtração, multiplicação e divisão). Cabe mencionar, por exemplo, a inexistência do sinal representativo do zero, deficiência que persistiu nos sistemas aritméticos de culturas posteriores, como a grega e a romana. No entanto, foi na Grécia que os fundamentos da matemática teórica se desenvolveram. Os integrantes da escola pitagórica adotaram métodos de raciocínio com os quais, a partir de problemas geométricos, chegou-se à descoberta dos números irracionais -- aqueles que não correspondem ao resultado da divisão entre dois números inteiros.

A criação dos sistemas de numeração posicionais e, implicitamente, da noção do sinal zero, foi de suma importância para a evolução da aritmética. Tais sistemas, cuja invenção coube aos matemáticos hindus, foram transferidos ao Ocidente através da cultura árabe. Fundamentam-se na atribuição, a cada cifra, de um valor intrínseco e de outro variável, segundo sua posição. Assim, no sistema decimal, três algarismos quaisquer, como, por exemplo, quatro, seis e nove, podem formar números diferentes, tais como 496 ou 694, através da simples variação da posição relativa de cada um deles.

As operações aritméticas tornaram-se simples com a introdução da numeração árabe no Ocidente, através da publicação, no século XIII, do Liber abaci (1202; Livro do ábaco) do italiano Leonardo Pisano. Ficaram assim relegados a segundo plano sistemas tradicionalmente empregados como o cálculo digital, baseado nas diferentes posições dos dedos das mãos para identificar um número, além da utilização do ábaco.

A partir do Renascimento, os trabalhos de investigadores como os franceses François Viète, Pierre de Fermat e Joseph-Louis Lagrange, e dos alemães Leonhard Euler e Carl Friedrich Gauss, incorporaram os estudos aritméticos ao campo mais amplo da matemática, com complementações de natureza algébrica, geométrica, trigonométrica e analítica.

A moderna aritmética abstrata, vinculada à análise matemática, mas também às operações lógicas e à teoria dos números, possibilitou a criação de um núcleo de hipóteses a partir do qual desenvolveram-se ramos específicos. Entre esses, destaca-se a aritmética das leis da probabilidade, disciplina enquadrada no cálculo de probabilidade, onde são analisados os princípios relacionados com a decomposição de números inteiros em fatores primos, ou seja, números inteiros positivos (maiores que zero), só divisíveis por um ou por si mesmos.

 

Sistemas de numeração - A organização de um sistema racional de numeração foi uma das maiores conquistas do gênio humano, pois introduziu extraordinária simplificação nos métodos operacionais, facilitando a solução de muitos problemas e permitindo a de outros que não podem ser resolvidos por processos geométricos ou verbais. Esse sistema é constituído por um conjunto de regras que permite escrever os números (qualquer que seja sua grandeza) e bem assim ler esses números, ou seja, dar-lhes os respectivos nomes.

A organização de um sistema de numeração baseia-se na seguinte propriedade fundamental: n unidades de uma ordem valem uma unidade de ordem imediatamente superior. O valor n é chamado base do sistema. Embora possam existir vários sistemas de numeração, a tradição conservou o emprego de somente um: o sistema de base 10, ou seja, o sistema decimal de numeração.

Para se escreverem os números adota-se outra convenção fundamental: um número escrito à esquerda de outro vale n vezes o valor que teria se fosse escrito no lugar desse outro, uma vez que pertence a uma ordem imediatamente superior à deste.

Os números são escritos por meio de sinais convencionais, sendo hoje empregados os sinais utilizados pelos árabes, denominados algarismo, nome que lembra o mais famoso algebrista árabe: al-Khwarizmi. Além da numeração arábica, que emprega os dez sinais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, usa-se também a numeração romana, que usa os sinais I, V, X, L, C, D e M.

O sistema decimal não é o único ainda em uso: a prática comercial muitas vezes adota a técnica de separar os objetos por dúzias e acondicioná-los em caixas de 12 dúzias (uma grosa), o que corresponde a um sistema de base 12. O tempo é medido em séculos de cem anos, cada ano com 365 dias, cada dia com 24 horas, cada hora com sessenta minutos, cada minuto com sessenta segundos. Esse exemplo mostra um sistema complexo, de base variável, e que por isso dificulta a realização das operações. As medidas inglesas de comprimento (jardas de três pés, cada um de 12 polegadas), de massa, a moeda inglesa e o ângulo plano (grau, minuto, segundo) são outros exemplos de sistemas não decimais.

Teoria e classificação dos números - O conceito de número, intuído pelo homem a partir da definição de unidade, constitui a base fundamental da aritmética. Ao longo da história do raciocínio matemático, diversas teorias procuravam explicar essa noção. Entre elas destacam-se a teoria analítica -- segundo a qual dos números naturais (ou seja, os inteiros e positivos) partem todas as demais classes de números -- e a teoria sintética -- que introduz a noção de conjunto para interpretar as propriedades e as relações entre os números. Dessa última aproxima-se a teoria axiomática do número natural, baseada em uma série de princípios que definem todas as operações realizáveis no campo dos números naturais.

Uma vez desenvolvidas as diferentes teorias, podem-se distinguir vários grupos de números. Como ampliação do conjunto de números inteiros positivos, ou naturais, N, define-se o conjunto de números negativos ou inteiros de valor inferior a zero, sendo que a união de ambos os conjuntos constitui o dos números inteiros, Z. Outro grupamento engloba aqueles números que, fora do âmbito dos inteiros, são resultado de operações tais como a divisão sem solução entre inteiros; trata-se do conjunto de números fracionários. A união desse conjunto de números e o dos inteiros forma o conjunto dos números racionais, Q. Geralmente, um número racional é representado na forma de uma fração a/b, isto é, como a divisão de um termo a, ou numerador, por um segundo termo b, ou denominador. Essa representação pode ser substituída pela notação decimal, obtida pela resolução aritmética do quociente a/b. Assim, o número racional 5/8 corresponde ao decimal 0,625. Em alguns casos, o termo decimal se prolonga indefinidamente, como no racional 4/7, cuja equivalência decimal é escrita 0,571428571428..., onde o termo sublinhado se repete infinitamente, sendo denominado período.

Existe, por outro lado, uma série de números racionais cuja forma decimal apresenta uma sucessão infinita de números que não se repetem periodicamente e que constituem o conjunto dos números irracionais. A união dos números racionais e irracionais constitui um novo conjunto denominado números reais, R. Entre os números reais irracionais estão   = 1,41421...

  = 1,7320..., e   = 3,14159... A definição de um último conjunto de números, o dos complexos, C, que inclui os números imaginários, tornou-se possível extrair raízes de números negativos.

Operações aritméticas elementares - As operações aritméticas são classificadas como diretas ou de composição, quando a partir de determinados dados se obtêm os resultados correspondentes, e como inversas ou de decomposição, nos casos em que o resultado e algum dos dados permitem determinar outros valores desconhecidos. No primeiro grupo se enquadram as operações de soma ou adição, multiplicação e potenciação e, no segundo, suas correspondentes inversas: subtração, divisão, radiciação e obtenção de logaritmo ou logaritmação.

Além dos sinais específicos de cada uma dessas operações aritméticas, a formulação matemática se serve de uma série de notações gerais, tais como: >, maior que; <, menor que; =, igual a;  , diferente de; utilizam-se ainda parênteses, colchetes e chaves, para separar as quantidades envolvidas em uma única operação ou em operações sucessivas.

Adição - É a mais simples das operações e por meio dela podemos definir todas as outras. Adicionar dois números ou dois conjuntos de elementos é achar um terceiro número ou conjunto que contenha todas as unidades ou os elementos desses dois números ou conjuntos. A ideia de adicionar está implícita na própria organização do conjunto dos números naturais, pois, para se passar de um número ao seguinte, é preciso somar-lhe uma unidade.

Os números que se adicionam são denominados parcelas e o resultado chama-se soma ou total. A adição é representada pelo sinal convencional +, que se lê mais.

A adição tem as seguintes propriedades: (1) é unívoca, isto é, só apresenta um resultado; (2) é  comutativa, isto é, a ordem das parcelas não altera a soma; (3) é associativa, isto é, duas ou mais parcelas podem ser substituídas pela respectiva soma (é também dissociativa, isto é, uma parcela pode ser substituída pela adição de dois ou mais números dos quais a parcela seja a soma). Além dessas, podem-se incluir outras três propriedades, mais facilmente entendidas por meio de notação simbólica; (4) se b > c, a + b > a + c; (5) se a + b = a + c, b = c; (6) existência de elemento neutro a + 0 = a.

Subtração - É a operação inversa da adição, ou seja, é aquela que, dados a soma de dois números e um deles, tem por finalidade calcular o segundo.

Os números que se subtraem recebem os seguintes nomes: minuendo (correspondente à soma) e subtraendo; o resultado é chamado resto, excesso ou diferença. A subtração é representada pelo sinal -, que se lê menos. A subtração é também unívoca, mas não é associativa nem comutativa.

Multiplicação - É a operação em que se realiza uma adição simplificada de parcelas iguais. Se, por exemplo, se deseja somar dez parcelas iguais a a, pode-se exprimir essa operação 10 x a, (dez vezes a).

A parcela que se repete chama-se multiplicando, o número de vezes que essa parcela aparece chama-se multiplicador, dando-se a ambos o nome de fatores. O resultado da multiplicação denomina-se produto. A multiplicação é representada pelo sinal x, que se lê vezes.

A multiplicação e unívoca, comutativa (a ordem dos fatores não altera o produto), associativa e dissociativa, e apresenta as seguintes propriedades: (1) a x 0 = 0; (2) a x 1 = a; (3) se a x b = a x c, b = c ( ); (4) se b > c, a x b > a x c.

Além disso, é distributiva em relação à adição e à subtração, isto é: para se multiplicar um número pela soma de várias parcelas, pode-se multiplicar esse número por cada uma das parcelas e, em seguida, somar os resultados. Exemplo: para se multiplicar 5 pela adição (2 + 4 + 3), cujo resultado seria 45, pode-se multiplicar 5 por cada parcela, obtendo-se 10, 20 e 15 que, somados, totalizam também 45. Uma consequência imediata dessa propriedade é a retirada dos parênteses no caso de haver um fator externo, ou a operação inversa de colocar um fator comum em evidência: a(b+c+d) = ab+ac+ad.

Divisão - É a operação inversa da multiplicação, ou seja, aquela que, dado o produto de dois números e um deles, tem por finalidade determinar o segundo. Os elementos de uma divisão denominam-se dividendo (equivalente ao produto), divisor e quociente; se este não é exato, diz-se que há um resto. A divisão é indicada pelo sinal   (ou :), que se lê dividido por.

A divisão é unívoca, porém não é comutativa nem associativa. É também distributiva em relação à adição e à subtração. Assim:

A divisão exata pode ser representada pela expressão: D = d.q, onde D representa o dividendo, d o divisor e q o quociente.

A expressão representativa da divisão inexata, ou seja, que deixa resto é: D = d.q + R, em que R representa o resto, donde a chamada propriedade fundamental da divisão: o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, mais o resto.

A divisão apresenta as seguintes propriedades:

(1) Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor pelo mesmo número, quociente não se altera, mas o resto fica multiplicado ou dividido por esse número. Assim, tem-se que:  , deixando resto 2,  , deixando resto 6.

(2) Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica multiplicado ou dividido por esse número.

(3) Multiplicando-se ou dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multiplicado ou dividido por esse número.

(4) A divisão de um número por zero é impossível.

(5) A divisão de zero por qualquer quantidade não nula é igual a zero, pois qualquer número multiplicado por zero é igual a zero.

Potenciação - É a operação que representa o produto simplificado de fatores iguais. Exemplo: 5 x 5 x 5 x 5 = 54 = 625. Daí dizer-se que 625 é a quarta potência de 5.

O fator que se repete é chamado base, o número que indica quantas vezes a base é repetida chama-se expoente ou grau e é escrito à direita e um pouco acima; o resultado chama-se potência.

A segunda potência é chamada quadrado do número e a terceira potência é o cubo do número; as demais não possuem nome especial.

A potenciação é uma operação unívoca e apresenta ainda as seguintes propriedades:

(1) Se m > n, então am > an 

(2) Se a > b, então am > bm 

(3) 1m = 1; 0m = 0

(4) É distributiva em relação à multiplicação. Exemplo: (2 x 3 x 4)2 = 22 x 32 x 42.

(5) Para se multiplicarem potências de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes. Exemplo: a2 + a5 = a7.

(6) Para se dividirem potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Exemplo:  

 (7) Para se elevar uma potência indicada a um expoente, multiplicam-se os expoentes.

Exemplo: (a2)5 = a10.

A potenciação possui duas operações inversas: a radiciação e a logaritmação.

Radiciação - É a operação que, dados a potência de ordem n de um número e o expoente n, tem por finalidade determinar o número.

A radiciação é representada pelo sinal chamado radical:   que se lê "raiz n de a". O número que designa o grau (n) é chamado índice da raiz, o número que fica embaixo do radical é o radicando e o resultado é a raiz. Exemplo:  , que se lê: a raiz cúbica de 64 é igual a 4.

Quando a operação não é possível, isto é, não conduz a resultado exato, diz-se que esse resultado é um número irracional. Exemplos:  . As raízes de índice par de números negativos podem representar números imaginários.

A radiciação é uma operação unívoca, distributiva em relação à multiplicação e à divisão, e apresenta propriedades análogas às da potenciação.

Logaritmação - É a operação, que, dados a potência n de um número a e o valor de a, tem por finalidade determinar o valor do expoente n. Se an = A, diz-se que o logaritmo de A na base a é n, e representa-se por: logaA = n.

A logaritmação é uma operação unívoca, apresenta propriedades análogas às de potenciação e mais as quatro propriedades seguintes:

(1) O logaritmo do produto de vários fatores é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

(2) O logaritmo do quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o do divisor.

(3) O logaritmo da potência n de um número é igual a n vezes o logaritmo do número.

(4) O logaritmo da raiz n de um número é igual ao logaritmo do número dividido por n.

Divisibilidade - Denomina-se divisibilidade o conjunto de regras que se destinam a verificar se um número dado é divisível por outro, ou seja, se esse número dividido pelo outro conduz a uma divisão exata. Em caso afirmativo diz-se que o primeiro número é múltiplo do segundo, ou que é divisível pelo segundo; diz-se também que o segundo número é divisor do primeiro, ou que é submúltiplo, fator ou parte alíquota do primeiro. Exemplo:   (108 é múltiplo de 36, 36 é divisor de 108).

Os critérios pelos quais se pode saber se um número dado é divisível por outro são denominados critérios de divisibilidade. Exemplos:

(1) Um número é divisível por 2 se for par.

(2) Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 5 ou 0.

(3) Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0.

(4) Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4.

(5) Um número é divisível por 25 se o número formado pelos dois últimos algarismos o for, ou seja, se terminar por 00, 25, 50 ou 75.

(6) Um número é divisível por 100 se terminar por 00.

(7) Um número é divisível por 3 (ou 9) quando as somas dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3 (ou 9).

(8) Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos da ordem par, for igual à soma dos algarismos da ordem ímpar ou quando a diferença for 11 ou múltiplo de 11.

Esses critérios permitem calcular o resto da divisão, no caso de não ser exata.

Números primos - São os números que só admitem como divisores eles mesmos e a unidade. Exemplo: 5 é um número primo porque só é divisível por 5 e por 1.

Os números primos apresentam as seguintes propriedades: (1) se um número primo é divisor de um produto de vários fatores, é divisor de pelo menos um dos fatores; (2) todo número não primo pode ser decomposto no produto de fatores primos, sendo única essa decomposição; (3) a sucessão dos números primos é indefinida.

Números compostos - Em virtude da propriedade (2), acima enunciada, os números não primos são denominados números compostos, sendo portanto múltiplos de um ou mais números primos. A condição necessária e suficiente para que um número qualquer N seja múltiplo de outro número N é que contenha todos os fatores primos desse outro, elevados a expoentes iguais ou maiores. Essa importante propriedade conduz ao critério para determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

Mínimo múltiplo comum - É o menor número divisível, ao mesmo tempo, por dois ou mais números. Em virtude de propriedade acima, calcula-se o mínimo múltiplo comum decompondo-se os números em seus fatores primos e tomando-se o produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.

Exemplos:     24 = 23 x 3 =>  60 = 22 x 3 x 5

O mínimo múltiplo comum entre 24 e 60, que se representa por m.m.c. (24, 60), é igual a: 23 x 3 x 5 = 120.

Máximo divisor comum - É o maior número que divide, ao mesmo tempo, dois ou mais números. Escreve-se abreviadamente m.d.c. O máximo divisor comum é determinado pelo produto dos fatores primos comuns aos dois ou mais números, elevados aos menores expoentes.

Exemplos:     180 = 22 x 32 x 5 => 108 = 22 x 33

O máximo divisor comum entre 180 e 108, que se representa por m.d.c. (180, 108), é igual a: 22 x 32 = 36.

Números primos entre si. Dois ou mais números dizem-se primos entre si quando não possuem nenhum divisor comum, exceção feita à unidade. Exemplo: 4 e 9 são primos entre si (embora ambos sejam compostos).

A condição necessária e suficiente para que vários números sejam primos entre si é que não tenham nenhum fator primo comum.

Se dois números são primos entre si, suas potências de qualquer grau são também números primos entre si.

Se um número é primo com vários outros, é também primo com o produto desses outros.

Se cada um dos números a1, a2,...an é primo com cada um dos números b1, b2,...bn, o produto a1, a2,...an é primo com o produto, b1, b2,...bn.

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