Número e a História dos Sistemas de Numeração

Número e a História dos Sistemas de Numeração

Número e a História dos Sistemas de NumeraçãoNúmero, nos sistemas de numeração natural empregados de modo quase intuitivo em todas as sociedades humanas, denota a quantidade de elementos presentes num conjunto de coisas ou seres e serve ainda para medir extensões, áreas, volumes e períodos de tempo. De modo mais amplo, pode-se entender por número toda entidade abstrata que expressa uma relação entre uma quantidade qualquer e outra, chamada unidade, que é tomada como referência.

Uma das noções fundamentais da matemática, a idéia de número foi utilizada e aperfeiçoada, ao longo de muitos séculos, como instrumento de descrição e conhecimento do mundo e de organização da vida humana. O estudo das relações numéricas que vigoram em fenômenos naturais (como os astronômicos) e nas artes (como na música) ensejou muitas especulações de natureza filosófica e mesmo religiosa e esotérica, das quais um dos exemplos mais expressivos é a doutrina pitagórica que, na Grécia do século VI a.C., encarava os números como sublimação da natureza e dotados de propriedades mágicas.

História dos sistemas de numeração - Assim como as primeiras tentativas de escrever vieram logo após o desenvolvimento da fala, também os primeiros esforços para representar os números graficamente foram realizados depois que o homem aprendeu a contar. Provavelmente a primeira forma de manter o registro de uma conta empregava um sistema de agrupamento de objetos como seixos ou galhos. A julgar pelos hábitos das tribos primitivas atuais, assim como pelos mais antigos traços remanescentes de registros escritos ou esculpidos, os primeiros numerais eram simples cortes num galho, rabiscos numa pedra ou marcas num pedaço de cerâmica. Sem unidades fixas de medida, sem moedas, sem comércio além do primitivo escambo, sem sistemas de tributação e sem necessidades além da subsistência, os povos não precisavam de numerais escritos antes do início dos chamados tempos históricos.

Os mais antigos sistemas de representação numérica conhecidos foram empregados pelos egípcios da primeira dinastia (cerca de 3400 a.C.) e pelos povos da Mesopotâmia (por volta de 3000 a.C.). Conhecem-se também antiqüíssimas inscrições numéricas hindus e chinesas. Achados arqueológicos indicam que as primeiras unidades de cálculo, que serviram de base aos sistemas pré-históricos, foram os traços antropomórficos: formavam-se, para a contagem, grupos de cinco, dez e vinte elementos, preferidos por sua fácil analogia com os dedos das mãos e dos pés. Assim, enquanto a maioria das culturas mediterrâneas empregava sistemas de dez dígitos, os povos celtas utilizavam agrupamentos de vinte elementos, e ainda hoje existem vestígios de sua nomenclatura na designação francesa dos números.

Os matemáticos sumérios e babilônios da antiguidade, detentores de conhecimentos avançados sobre numeração, representaram um caso excepcional: em razão da importância das observações astronômicas, esses povos empregavam sistemas sexagesimais (de sessenta dígitos). Tais sistemas conservam-se até hoje, com poucas modificações, na medida dos ângulos em trigonometria e na divisão das horas em minutos e segundos. Os egípcios expressavam seus números de acordo com um sistema decimal, que empregava notações simbólicas e hieroglíficas para representar a unidade e os múltiplos de dez. A influência direta de Roma por um período tão longo, a superioridade do sistema de algarismos romanos sobre qualquer outro mais simples conhecido na Europa antes do século X e o poder da tradição explicam a forte posição que esse sistema manteve por quase dois mil anos no comércio, nos textos científicos e tecnológicos e na literatura.

Paralelamente, desenvolveram-se em outras regiões do planeta técnicas e sistemas numéricos de características diversas. Descobriu-se, por exemplo, que os maias, num tempo distante e não identificado, tinham um sistema numérico bem desenvolvido, que incluía um símbolo para o zero. Os matemáticos da antiga Índia criaram um conjunto simbólico de números num sistema decimal com representação gráfica definida, na qual para cada dígito correspondia um valor cujo significado real variava em função da posição relativa do dígito no número completo.

Quando a expansão islâmica alcançou as terras persas, trazendo consigo o conhecimento hindu, houve um período de brilho nas áreas científica, astronômica e matemática. Uma das grandes figuras desse período foi o sábio Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi, que formulou várias definições algébricas. A civilização árabe assimilou e aperfeiçoou o sistema hindu ao atribuir ao algarismo zero, pela primeira vez, um valor posicional na representação dos números. O resultado mais claro desse fértil período foi a criação do sistema de numeração indo-arábico, que, com ligeiras alterações na grafia, é utilizado em praticamente todos os países do mundo moderno.

Na Europa, durante a Idade Média, a matemática se encontrava presa à complexidade da numeração romana, o que limitou o desenvolvimento algébrico e numérico na região. A partir do século X, diversos sábios, conhecedores das técnicas arábicas, começaram a introduzi-las nos ambientes cultos. Gerbert d'Aurillac, por exemplo, que viria a ser o papa Silvestre II, levou para a Europa, por volta do ano 1000, um tipo de ábaco em que os números eram representados por pedras. Sem dúvida, foi Leonardo Fibonacci, mais conhecido como Leonardo Pisano, quem mais contribuiu para difundir o uso dos algarismos indo-arábicos na Europa, por meio de seu Liber abaci (1202; Livro do ábaco).

A partir de então, houve nas universidades européias um florescimento da álgebra e da teoria dos números, que experimentou um auge no século XVII. Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveu um estudo completo sobre os sistemas binários de numeração, compostos exclusivamente pelos dígitos 1 e 0, que o sábio alemão identificava como Deus e o diabo; Pierre de Fermat elaborou brilhantes análises sobre as propriedades dos números primos; e, posteriormente, o irlandês William Rowan Hamilton e o americano Josiah Willard Gibbs aprofundaram os conhecimentos sobre os números que não apresentam raiz quadrada, como é o caso dos irracionais e dos complexos. Outras figuras da maior importância na história da matemática são os alemães Carl Friedrich Gauss, que no princípio do século XIX deu coesão às teorias dos números enunciadas até então, e Georg Cantor, que, no final do mesmo século, fundou a teoria dos conjuntos.

Conjuntos numéricosConjuntos numéricos - A natureza abstrata dos números varia segundo a finalidade e a utilização que se dá a esse conceito. A partir dos números chamados naturais, que correspondem à idéia intuitiva de sucessão ordenada de objetos (por exemplo, na contagem), o refinamento algébrico que acompanhou a evolução da matemática impôs a criação de conjuntos mais amplos e de maior complexidade lógica.

Os números naturais são definidos como as noções ou entidades matemáticas inteiras que denotam quantidades de elementos presentes num grupo ou conjunto definido (1, 2, 3, 4,...). O zero, ou ausência de objetos num conjunto, não era em geral aceito como número antes do século XIII. Em matemática, o conjunto de todos os números naturais é simbolizado por   e, quando exclui o zero.

A primeira extensão do conceito de número deveu-se principalmente a uma dificuldade operatória. A subtração é definida como a operação inversa da adição. Dados dois números quaisquer, é sempre possível adicioná-los e encontrar sua soma. O mesmo não acontecia com a subtração, nos casos em que o subtraendo era maior que o minuendo. Para tornar geral a operação, definiu-se o conceito de número negativo, ou seja, menor que zero. O campo dos números naturais acrescido do campo dos números negativos constitui o conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo.

Ao incluírem-se na álgebra dos números inteiros as operações de multiplicação e divisão, surgiram certas relações ou proporções entre números, conhecidas como frações. O conjunto   acrescido dos números fracionários forma o conjunto dos números racionais, simbolizado por  . As frações matemáticas apresentam importantes propriedades, pesquisadas por muitos sábios da antiguidade e aplicadas ao estudo da proporcionalidade dos lados de triângulos e de outras figuras geométricas, como se pode verificar pela perfeição arquitetônica dos monumentos das civilizações grega e egípcia. Quando se soluciona uma fração, isto é, se efetua a operação de divisão correspondente, o resultado pode ser um número inteiro, ou um número que apresenta uma parte não inteira (aquela que se segue à vírgula ou ao ponto decimal) com uma quantidade finita de algarismos, ou ainda um número decimal que apresenta um algarismo ou um grupo de algarismos (chamado período) que se repete indefinidamente.

O conjunto dos números se ampliou notavelmente após a concepção de valores decimais que não têm período, ou seja, que não resultam da divisão de números inteiros. É o que ocorre, por exemplo, com   etc. O número   (3,141592...), relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, também não pertence ao conjunto dos números racionais, e o mesmo acontece com e (2,71828...), de grande importância no cálculo infinitesimal, que foi desenvolvido a partir do século XVII. Da mesma maneira que as raízes quadradas mencionadas, ambos possuem infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente. Tais números são denominados irracionais. Chama-se conjunto dos números reais aquele que inclui os racionais e irracionais. 

Outra dificuldade operacional conduziu a nova extensão no conjunto dos números: não existe, entre os reais, um número que seja raiz quadrada de um número negativo, isto é, que elevado ao quadrado dê um resultado negativo. Os números cuja raiz de índice par não pode ser resolvida dentro do conjunto real   (por exemplo, os números   etc.) são ditos, portanto, imaginários. A unidade escolhida para o conjunto imaginário é o número.

Por serem os valores imaginários inteiramente distintos dos números reais, definiu-se um conjunto maior que engloba ambas as categorias: o conjunto dos números complexos, simbolizado por  . Cada número complexo é a soma de uma parte real e outra imaginária, e representado por um par ordenado (a,b) onde a e b são números reais, sendo b o coeficiente da unidade imaginária i. Dada a fórmula geral dos números complexos (a + bi), os números reais podem ser entendidos como números complexos cuja parte imaginária é nula (b = 0), e os números imaginários como aqueles complexos cuja parte real é nula (a = 0). Os números complexos são empregados não só na matemática pura (teoria das equações e teoria das funções) como também na descrição e resolução simplificada de problemas físicos.

Bases numéricasBases numéricas - A representação simbólica dos números requer a escolha prévia de uma base de numeração. É mais fácil compreender o que são sistemas e bases numéricas por meio de uma extrapolação do sistema decimal, que é o de uso mais generalizado. Nele, empregam-se dez símbolos básicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Pela combinação ordenada desses símbolos, podem-se representar todas as quantidades manejadas no cálculo numérico. Cada grupo de dez elementos forma um elemento de classe superior: dez unidades perfazem uma dezena, dez dezenas perfazem uma centena, e assim sucessivamente. Desse modo, cada algarismo tem seu valor multiplicado por uma potência de dez, dependendo da casa decimal que ocupa (por exemplo, o número representado por 987 é igual a 9x102 + 8x101 + 7x10).

De modo análogo, podem-se montar sistemas com qualquer base. O sistema binário, ou de base 2, emprega apenas dois símbolos -- normalmente 0 e 1 --, cuja combinação permite igualmente escrever todas as quantidades a serem matematicamente operadas. Cada grupo de dois elementos perfaz um elemento de classe superior, e o valor de cada casa é uma potência de base 2. O número representado por 1101 no sistema binário é igual a 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x2 = 13. Assim, os primeiros números naturais seriam representados na forma 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 etc. (correspondentes a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 etc. no sistema decimal). Isso evidentemente complica a escrita e a leitura das quantidades, mas a difusão e importância crescente do sistema binário deve-se ao fato de ser perfeitamente compatível com sistemas de resposta lógica (sim/não) ou física (passagem de corrente por um circuito ou comutação inversa, e acesso ou não de um sinal elétrico a uma determinada faixa de energia), empregados em modelos matemáticos ideais e em circuitos e dispositivos de informática. O sistema hexadecimal, que inclui os dígitos do sistema decimal acrescidos das letras A, B, C, D, E e F, foi introduzido para compensar as deficiências de expressão do sistema binário e também deve sua importância atual à aplicabilidade tecnológica e em informática.

Teoria dos números - A história da teoria dos números é repleta de célebres problemas, entre os quais a equação diofenatina de forma xn + yn = zn, inicialmente proposta e estudada por matemáticos gregos e, mais tarde, no século XVII, por Pierre de Fermat. Segundo o "teorema de Fermat" (na verdade, uma conjetura, pois o matemático não apresentou sua demonstração), a equação não apresenta solução inteira para valores de n superiores a 2. As tentativas de provar o teorema levaram ao desenvolvimento de campos importantes da matemática e a criação do conceito de números algébricos -- números complexos que são raízes (ou soluções) de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Tais equações podem possuir diversas variáveis, como é o caso da equação diofantina, de variáveis x, y, z, ou uma única variável, quando assumem a forma Axn + Bxn-1 + Cxn-2 + ... + Rx2 + Sx + T = 0, onde tanto n como os coeficientes A, B, C etc. são números inteiros.
Os números não-algébricos, isto é, aqueles que não constituem solução de nenhuma equação polinomial de coeficientes inteiros, são chamados transcendentes. Entre eles,   e e têm especial importância. Matemáticos como Charles Hermite e Ferdinand von Lindemann analisaram, no final do século XIX, as propriedades de tais números e, na mesma época, Georg Cantor demonstrou que, num sentido de certa forma natural, quase todos os números podem ser classificados como transcendentes.

Muitos problemas da teoria dos números estão relacionados com números primos -- os inteiros maiores que 1 e divisíveis apenas por si mesmos e pela unidade. O conjunto dos números primos é infinito (2, 3, 5, 7, 11, ...). Os números inteiros não primos (4, 6, 8, 9, 10, 12, ...) são chamados de compostos e podem ser expressos sob a forma de um produto de fatores primos. Muitos tratados foram escritos sobre números primos, dentre os quais a chamada expressão de Fermat, que afirmou, sem contudo demonstrá-lo, que todos os valores resultantes da operação 22n + 1, com n inteiro, são primos. Esta conjetura foi refutada por Leonhard Euler para n = 5. Depois comprovou-se que a expressão é falsa para valores de n entre 5 e 16, o que colocou em dúvida a existência de números primos que obedeçam a essa fórmula para valores mais elevados de n.

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