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Ábaco | História do Ábaco

Ábaco | História do Ábaco


Ábaco é um instrumento usado desde a antiguidade para efetuar as operações elementares. Consta de um bastidor no qual se inserem diversas varetas no sentido horizontal, e por cada uma deslizam dez contas. A vareta inferior corresponde às unidades, a segunda às dezenas, a terceira às centenas e assim sucessivamente. Para representar um número, se deslocam pelas varetas tantas contas quantas sejam necessárias para as unidades, as dezenas etc. No ábaco está implícito o sistema decimal de numeração instituído depois da invenção do instrumento.

Durante a ocupação do Japão por tropas dos Estados Unidos, logo após a segunda guerra mundial, ocorreu uma curiosa disputa entre um soldado americano, perito no manejo de máquinas de calcular, e um funcionário japonês habituado ao uso do ábaco. A prova consistia em efetuar rapidamente as quatro operações aritméticas. O japonês venceu em quatro das cinco questões propostas, demonstrando a eficácia do antigo sistema de cálculo.

Alguns modelos contam com dez varetas, que correspondem a igual número de dedos, com dez contas em cada vareta. Outro tipo de ábaco apresenta varetas divididas em duas partes, uma com cinco contas e outra com duas. As contas da primeira parte correspondem a uma unidade e as da segunda, a cinco unidades. Os romanos empregavam um modelo de ábaco no qual as varetas eram substituídas por sulcos feitos numa tábua e as contas, por pedras.

O ábaco foi usado pelas civilizações pré-colombianas, mediterrâneas e do Extremo Oriente. Sua utilização significou um grande avanço para o cálculo aritmético na antiguidade. Em alguns países do Extremo Oriente o uso do ábaco perdura até os dias atuais.

Número e a História dos Sistemas de Numeração

Número e a História dos Sistemas de Numeração

Número e a História dos Sistemas de NumeraçãoNúmero, nos sistemas de numeração natural empregados de modo quase intuitivo em todas as sociedades humanas, denota a quantidade de elementos presentes num conjunto de coisas ou seres e serve ainda para medir extensões, áreas, volumes e períodos de tempo. De modo mais amplo, pode-se entender por número toda entidade abstrata que expressa uma relação entre uma quantidade qualquer e outra, chamada unidade, que é tomada como referência.

Uma das noções fundamentais da matemática, a idéia de número foi utilizada e aperfeiçoada, ao longo de muitos séculos, como instrumento de descrição e conhecimento do mundo e de organização da vida humana. O estudo das relações numéricas que vigoram em fenômenos naturais (como os astronômicos) e nas artes (como na música) ensejou muitas especulações de natureza filosófica e mesmo religiosa e esotérica, das quais um dos exemplos mais expressivos é a doutrina pitagórica que, na Grécia do século VI a.C., encarava os números como sublimação da natureza e dotados de propriedades mágicas.

História dos sistemas de numeração - Assim como as primeiras tentativas de escrever vieram logo após o desenvolvimento da fala, também os primeiros esforços para representar os números graficamente foram realizados depois que o homem aprendeu a contar. Provavelmente a primeira forma de manter o registro de uma conta empregava um sistema de agrupamento de objetos como seixos ou galhos. A julgar pelos hábitos das tribos primitivas atuais, assim como pelos mais antigos traços remanescentes de registros escritos ou esculpidos, os primeiros numerais eram simples cortes num galho, rabiscos numa pedra ou marcas num pedaço de cerâmica. Sem unidades fixas de medida, sem moedas, sem comércio além do primitivo escambo, sem sistemas de tributação e sem necessidades além da subsistência, os povos não precisavam de numerais escritos antes do início dos chamados tempos históricos.

Os mais antigos sistemas de representação numérica conhecidos foram empregados pelos egípcios da primeira dinastia (cerca de 3400 a.C.) e pelos povos da Mesopotâmia (por volta de 3000 a.C.). Conhecem-se também antiqüíssimas inscrições numéricas hindus e chinesas. Achados arqueológicos indicam que as primeiras unidades de cálculo, que serviram de base aos sistemas pré-históricos, foram os traços antropomórficos: formavam-se, para a contagem, grupos de cinco, dez e vinte elementos, preferidos por sua fácil analogia com os dedos das mãos e dos pés. Assim, enquanto a maioria das culturas mediterrâneas empregava sistemas de dez dígitos, os povos celtas utilizavam agrupamentos de vinte elementos, e ainda hoje existem vestígios de sua nomenclatura na designação francesa dos números.

Os matemáticos sumérios e babilônios da antiguidade, detentores de conhecimentos avançados sobre numeração, representaram um caso excepcional: em razão da importância das observações astronômicas, esses povos empregavam sistemas sexagesimais (de sessenta dígitos). Tais sistemas conservam-se até hoje, com poucas modificações, na medida dos ângulos em trigonometria e na divisão das horas em minutos e segundos. Os egípcios expressavam seus números de acordo com um sistema decimal, que empregava notações simbólicas e hieroglíficas para representar a unidade e os múltiplos de dez. A influência direta de Roma por um período tão longo, a superioridade do sistema de algarismos romanos sobre qualquer outro mais simples conhecido na Europa antes do século X e o poder da tradição explicam a forte posição que esse sistema manteve por quase dois mil anos no comércio, nos textos científicos e tecnológicos e na literatura.

Paralelamente, desenvolveram-se em outras regiões do planeta técnicas e sistemas numéricos de características diversas. Descobriu-se, por exemplo, que os maias, num tempo distante e não identificado, tinham um sistema numérico bem desenvolvido, que incluía um símbolo para o zero. Os matemáticos da antiga Índia criaram um conjunto simbólico de números num sistema decimal com representação gráfica definida, na qual para cada dígito correspondia um valor cujo significado real variava em função da posição relativa do dígito no número completo.

Quando a expansão islâmica alcançou as terras persas, trazendo consigo o conhecimento hindu, houve um período de brilho nas áreas científica, astronômica e matemática. Uma das grandes figuras desse período foi o sábio Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi, que formulou várias definições algébricas. A civilização árabe assimilou e aperfeiçoou o sistema hindu ao atribuir ao algarismo zero, pela primeira vez, um valor posicional na representação dos números. O resultado mais claro desse fértil período foi a criação do sistema de numeração indo-arábico, que, com ligeiras alterações na grafia, é utilizado em praticamente todos os países do mundo moderno.

Na Europa, durante a Idade Média, a matemática se encontrava presa à complexidade da numeração romana, o que limitou o desenvolvimento algébrico e numérico na região. A partir do século X, diversos sábios, conhecedores das técnicas arábicas, começaram a introduzi-las nos ambientes cultos. Gerbert d'Aurillac, por exemplo, que viria a ser o papa Silvestre II, levou para a Europa, por volta do ano 1000, um tipo de ábaco em que os números eram representados por pedras. Sem dúvida, foi Leonardo Fibonacci, mais conhecido como Leonardo Pisano, quem mais contribuiu para difundir o uso dos algarismos indo-arábicos na Europa, por meio de seu Liber abaci (1202; Livro do ábaco).

A partir de então, houve nas universidades européias um florescimento da álgebra e da teoria dos números, que experimentou um auge no século XVII. Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveu um estudo completo sobre os sistemas binários de numeração, compostos exclusivamente pelos dígitos 1 e 0, que o sábio alemão identificava como Deus e o diabo; Pierre de Fermat elaborou brilhantes análises sobre as propriedades dos números primos; e, posteriormente, o irlandês William Rowan Hamilton e o americano Josiah Willard Gibbs aprofundaram os conhecimentos sobre os números que não apresentam raiz quadrada, como é o caso dos irracionais e dos complexos. Outras figuras da maior importância na história da matemática são os alemães Carl Friedrich Gauss, que no princípio do século XIX deu coesão às teorias dos números enunciadas até então, e Georg Cantor, que, no final do mesmo século, fundou a teoria dos conjuntos.

Conjuntos numéricosConjuntos numéricos - A natureza abstrata dos números varia segundo a finalidade e a utilização que se dá a esse conceito. A partir dos números chamados naturais, que correspondem à idéia intuitiva de sucessão ordenada de objetos (por exemplo, na contagem), o refinamento algébrico que acompanhou a evolução da matemática impôs a criação de conjuntos mais amplos e de maior complexidade lógica.

Os números naturais são definidos como as noções ou entidades matemáticas inteiras que denotam quantidades de elementos presentes num grupo ou conjunto definido (1, 2, 3, 4,...). O zero, ou ausência de objetos num conjunto, não era em geral aceito como número antes do século XIII. Em matemática, o conjunto de todos os números naturais é simbolizado por   e, quando exclui o zero.

A primeira extensão do conceito de número deveu-se principalmente a uma dificuldade operatória. A subtração é definida como a operação inversa da adição. Dados dois números quaisquer, é sempre possível adicioná-los e encontrar sua soma. O mesmo não acontecia com a subtração, nos casos em que o subtraendo era maior que o minuendo. Para tornar geral a operação, definiu-se o conceito de número negativo, ou seja, menor que zero. O campo dos números naturais acrescido do campo dos números negativos constitui o conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo.

Ao incluírem-se na álgebra dos números inteiros as operações de multiplicação e divisão, surgiram certas relações ou proporções entre números, conhecidas como frações. O conjunto   acrescido dos números fracionários forma o conjunto dos números racionais, simbolizado por  . As frações matemáticas apresentam importantes propriedades, pesquisadas por muitos sábios da antiguidade e aplicadas ao estudo da proporcionalidade dos lados de triângulos e de outras figuras geométricas, como se pode verificar pela perfeição arquitetônica dos monumentos das civilizações grega e egípcia. Quando se soluciona uma fração, isto é, se efetua a operação de divisão correspondente, o resultado pode ser um número inteiro, ou um número que apresenta uma parte não inteira (aquela que se segue à vírgula ou ao ponto decimal) com uma quantidade finita de algarismos, ou ainda um número decimal que apresenta um algarismo ou um grupo de algarismos (chamado período) que se repete indefinidamente.

O conjunto dos números se ampliou notavelmente após a concepção de valores decimais que não têm período, ou seja, que não resultam da divisão de números inteiros. É o que ocorre, por exemplo, com   etc. O número   (3,141592...), relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, também não pertence ao conjunto dos números racionais, e o mesmo acontece com e (2,71828...), de grande importância no cálculo infinitesimal, que foi desenvolvido a partir do século XVII. Da mesma maneira que as raízes quadradas mencionadas, ambos possuem infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente. Tais números são denominados irracionais. Chama-se conjunto dos números reais aquele que inclui os racionais e irracionais. 

Outra dificuldade operacional conduziu a nova extensão no conjunto dos números: não existe, entre os reais, um número que seja raiz quadrada de um número negativo, isto é, que elevado ao quadrado dê um resultado negativo. Os números cuja raiz de índice par não pode ser resolvida dentro do conjunto real   (por exemplo, os números   etc.) são ditos, portanto, imaginários. A unidade escolhida para o conjunto imaginário é o número.

Por serem os valores imaginários inteiramente distintos dos números reais, definiu-se um conjunto maior que engloba ambas as categorias: o conjunto dos números complexos, simbolizado por  . Cada número complexo é a soma de uma parte real e outra imaginária, e representado por um par ordenado (a,b) onde a e b são números reais, sendo b o coeficiente da unidade imaginária i. Dada a fórmula geral dos números complexos (a + bi), os números reais podem ser entendidos como números complexos cuja parte imaginária é nula (b = 0), e os números imaginários como aqueles complexos cuja parte real é nula (a = 0). Os números complexos são empregados não só na matemática pura (teoria das equações e teoria das funções) como também na descrição e resolução simplificada de problemas físicos.

Bases numéricasBases numéricas - A representação simbólica dos números requer a escolha prévia de uma base de numeração. É mais fácil compreender o que são sistemas e bases numéricas por meio de uma extrapolação do sistema decimal, que é o de uso mais generalizado. Nele, empregam-se dez símbolos básicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Pela combinação ordenada desses símbolos, podem-se representar todas as quantidades manejadas no cálculo numérico. Cada grupo de dez elementos forma um elemento de classe superior: dez unidades perfazem uma dezena, dez dezenas perfazem uma centena, e assim sucessivamente. Desse modo, cada algarismo tem seu valor multiplicado por uma potência de dez, dependendo da casa decimal que ocupa (por exemplo, o número representado por 987 é igual a 9x102 + 8x101 + 7x10).

De modo análogo, podem-se montar sistemas com qualquer base. O sistema binário, ou de base 2, emprega apenas dois símbolos -- normalmente 0 e 1 --, cuja combinação permite igualmente escrever todas as quantidades a serem matematicamente operadas. Cada grupo de dois elementos perfaz um elemento de classe superior, e o valor de cada casa é uma potência de base 2. O número representado por 1101 no sistema binário é igual a 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x2 = 13. Assim, os primeiros números naturais seriam representados na forma 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 etc. (correspondentes a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 etc. no sistema decimal). Isso evidentemente complica a escrita e a leitura das quantidades, mas a difusão e importância crescente do sistema binário deve-se ao fato de ser perfeitamente compatível com sistemas de resposta lógica (sim/não) ou física (passagem de corrente por um circuito ou comutação inversa, e acesso ou não de um sinal elétrico a uma determinada faixa de energia), empregados em modelos matemáticos ideais e em circuitos e dispositivos de informática. O sistema hexadecimal, que inclui os dígitos do sistema decimal acrescidos das letras A, B, C, D, E e F, foi introduzido para compensar as deficiências de expressão do sistema binário e também deve sua importância atual à aplicabilidade tecnológica e em informática.

Teoria dos números - A história da teoria dos números é repleta de célebres problemas, entre os quais a equação diofenatina de forma xn + yn = zn, inicialmente proposta e estudada por matemáticos gregos e, mais tarde, no século XVII, por Pierre de Fermat. Segundo o "teorema de Fermat" (na verdade, uma conjetura, pois o matemático não apresentou sua demonstração), a equação não apresenta solução inteira para valores de n superiores a 2. As tentativas de provar o teorema levaram ao desenvolvimento de campos importantes da matemática e a criação do conceito de números algébricos -- números complexos que são raízes (ou soluções) de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Tais equações podem possuir diversas variáveis, como é o caso da equação diofantina, de variáveis x, y, z, ou uma única variável, quando assumem a forma Axn + Bxn-1 + Cxn-2 + ... + Rx2 + Sx + T = 0, onde tanto n como os coeficientes A, B, C etc. são números inteiros.
Os números não-algébricos, isto é, aqueles que não constituem solução de nenhuma equação polinomial de coeficientes inteiros, são chamados transcendentes. Entre eles,   e e têm especial importância. Matemáticos como Charles Hermite e Ferdinand von Lindemann analisaram, no final do século XIX, as propriedades de tais números e, na mesma época, Georg Cantor demonstrou que, num sentido de certa forma natural, quase todos os números podem ser classificados como transcendentes.

Muitos problemas da teoria dos números estão relacionados com números primos -- os inteiros maiores que 1 e divisíveis apenas por si mesmos e pela unidade. O conjunto dos números primos é infinito (2, 3, 5, 7, 11, ...). Os números inteiros não primos (4, 6, 8, 9, 10, 12, ...) são chamados de compostos e podem ser expressos sob a forma de um produto de fatores primos. Muitos tratados foram escritos sobre números primos, dentre os quais a chamada expressão de Fermat, que afirmou, sem contudo demonstrá-lo, que todos os valores resultantes da operação 22n + 1, com n inteiro, são primos. Esta conjetura foi refutada por Leonhard Euler para n = 5. Depois comprovou-se que a expressão é falsa para valores de n entre 5 e 16, o que colocou em dúvida a existência de números primos que obedeçam a essa fórmula para valores mais elevados de n.

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Nomografia

Nomografia

#NomografiaNomografia é a área da matemática aplicada dedicada à resolução de equações mediante o uso de nomogramas, gráficos traçados a partir de um conjunto de eixos convenientemente dispostos, que permitem resolver grupos de problemas de mesmo tipo. A nomografia é útil na solução de problemas técnicos, especialmente em engenharia, e se aplica também à geodésia, à astronomia e às ciências sociais. São muito conhecidos os nomogramas - também chamados ábacos - empregados para resolver problemas de capitalização ou para calcular os juros de um capital aplicado.

A solução de muitos problemas matemáticos propostos pelas ciências aplicadas pode ser encontrada por meio de gráficos, ou seja, representações esquemáticas em que os valores são dados por pontos de interseção, segmentos de reta, ângulos e outras grandezas geométricas.

As vantagens da solução gráfica residem principalmente em sua simplicidade, pois evitam a resolução de equações algébricas complexas. O modo de emprego dos nomogramas não requer qualificação especializada, mas seu planejamento e execução envolvem teorias abstratas e artifícios de construção que demandam sólida formação matemática e alto grau de intuição geométrica.

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Aritmética, Teoria, Classificação dos Números e Operações Aritméticas Elementares

Aritmética, Teoria, Classificação dos Números e Operações Aritméticas Elementares

Aritmética, Teoria, Classificação dos Números e Operações Aritméticas ElementaresA aritmética é a parte da matemática que trata do estudo elementar dos números, das relações entre eles e das técnicas de realização de operações básicas, como a soma ou adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação, a radiciação e a logaritmação. Dessa forma, as hipóteses e investigações aritméticas têm seu campo de trabalho centrado na noção de número, entendido como expressão de pluralidade ou repetição de objetos e fenômenos.

Ao longo de sua evolução, a aritmética, cuja origem remonta às civilizações egípcia e babilônica, experimentou uma mudança radical, responsável pelo desenvolvimento da moderna aritmética abstrata, nos séculos XIX e XX.

História - O conjunto de referências históricas sobre o raciocínio aritmético baseou-se exclusivamente em dados o problemas de ordem prática, já que o conceito de abstração só surgiu no âmbito científico-matemático após este haver alcançado um grau relativamente elevado de evolução. Exemplo disso é a utilização do sistema de numeração decimal, que, certamente, teve origem nos dez dedos da mão, usados como meios de enumeração pelo homem primitivo.

Os precários estudos aritméticos das civilizações mesopotâmica e egípcia coincidiram com o estabelecimento dos sistemas de representação gráfica de números. Entretanto, esses antigos códigos de numeração escrita, cujos caracteres se denominam numerais, apresentavam sérios inconvenientes à execução de operações mais complexas que as quatro operações elementares (adição, subtração, multiplicação e divisão). Cabe mencionar, por exemplo, a inexistência do sinal representativo do zero, deficiência que persistiu nos sistemas aritméticos de culturas posteriores, como a grega e a romana. No entanto, foi na Grécia que os fundamentos da matemática teórica se desenvolveram. Os integrantes da escola pitagórica adotaram métodos de raciocínio com os quais, a partir de problemas geométricos, chegou-se à descoberta dos números irracionais -- aqueles que não correspondem ao resultado da divisão entre dois números inteiros.

A criação dos sistemas de numeração posicionais e, implicitamente, da noção do sinal zero, foi de suma importância para a evolução da aritmética. Tais sistemas, cuja invenção coube aos matemáticos hindus, foram transferidos ao Ocidente através da cultura árabe. Fundamentam-se na atribuição, a cada cifra, de um valor intrínseco e de outro variável, segundo sua posição. Assim, no sistema decimal, três algarismos quaisquer, como, por exemplo, quatro, seis e nove, podem formar números diferentes, tais como 496 ou 694, através da simples variação da posição relativa de cada um deles.

As operações aritméticas tornaram-se simples com a introdução da numeração árabe no Ocidente, através da publicação, no século XIII, do Liber abaci (1202; Livro do ábaco) do italiano Leonardo Pisano. Ficaram assim relegados a segundo plano sistemas tradicionalmente empregados como o cálculo digital, baseado nas diferentes posições dos dedos das mãos para identificar um número, além da utilização do ábaco.

A partir do Renascimento, os trabalhos de investigadores como os franceses François Viète, Pierre de Fermat e Joseph-Louis Lagrange, e dos alemães Leonhard Euler e Carl Friedrich Gauss, incorporaram os estudos aritméticos ao campo mais amplo da matemática, com complementações de natureza algébrica, geométrica, trigonométrica e analítica.

A moderna aritmética abstrata, vinculada à análise matemática, mas também às operações lógicas e à teoria dos números, possibilitou a criação de um núcleo de hipóteses a partir do qual desenvolveram-se ramos específicos. Entre esses, destaca-se a aritmética das leis da probabilidade, disciplina enquadrada no cálculo de probabilidade, onde são analisados os princípios relacionados com a decomposição de números inteiros em fatores primos, ou seja, números inteiros positivos (maiores que zero), só divisíveis por um ou por si mesmos.
 
Sistemas de numeração - A organização de um sistema racional de numeração foi uma das maiores conquistas do gênio humano, pois introduziu extraordinária simplificação nos métodos operacionais, facilitando a solução de muitos problemas e permitindo a de outros que não podem ser resolvidos por processos geométricos ou verbais. Esse sistema é constituído por um conjunto de regras que permite escrever os números (qualquer que seja sua grandeza) e bem assim ler esses números, ou seja, dar-lhes os respectivos nomes.

A organização de um sistema de numeração baseia-se na seguinte propriedade fundamental: n unidades de uma ordem valem uma unidade de ordem imediatamente superior. O valor n é chamado base do sistema. Embora possam existir vários sistemas de numeração, a tradição conservou o emprego de somente um: o sistema de base 10, ou seja, o sistema decimal de numeração.

Para se escreverem os números adota-se outra convenção fundamental: um número escrito à esquerda de outro vale n vezes o valor que teria se fosse escrito no lugar desse outro, uma vez que pertence a uma ordem imediatamente superior à deste.

Os números são escritos por meio de sinais convencionais, sendo hoje empregados os sinais utilizados pelos árabes, denominados algarismo, nome que lembra o mais famoso algebrista árabe: al-Khwarizmi. Além da numeração arábica, que emprega os dez sinais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, usa-se também a numeração romana, que usa os sinais I, V, X, L, C, D e M.

O sistema decimal não é o único ainda em uso: a prática comercial muitas vezes adota a técnica de separar os objetos por dúzias e acondicioná-los em caixas de 12 dúzias (uma grosa), o que corresponde a um sistema de base 12. O tempo é medido em séculos de cem anos, cada ano com 365 dias, cada dia com 24 horas, cada hora com sessenta minutos, cada minuto com sessenta segundos. Esse exemplo mostra um sistema complexo, de base variável, e que por isso dificulta a realização das operações. As medidas inglesas de comprimento (jardas de três pés, cada um de 12 polegadas), de massa, a moeda inglesa e o ângulo plano (grau, minuto, segundo) são outros exemplos de sistemas não decimais.

Teoria e classificação dos números - O conceito de número, intuído pelo homem a partir da definição de unidade, constitui a base fundamental da aritmética. Ao longo da história do raciocínio matemático, diversas teorias procuravam explicar essa noção. Entre elas destacam-se a teoria analítica -- segundo a qual dos números naturais (ou seja, os inteiros e positivos) partem todas as demais classes de números -- e a teoria sintética -- que introduz a noção de conjunto para interpretar as propriedades e as relações entre os números. Dessa última aproxima-se a teoria axiomática do número natural, baseada em uma série de princípios que definem todas as operações realizáveis no campo dos números naturais.

Uma vez desenvolvidas as diferentes teorias, podem-se distinguir vários grupos de números. Como ampliação do conjunto de números inteiros positivos, ou naturais, N, define-se o conjunto de números negativos ou inteiros de valor inferior a zero, sendo que a união de ambos os conjuntos constitui o dos números inteiros, Z. Outro grupamento engloba aqueles números que, fora do âmbito dos inteiros, são resultado de operações tais como a divisão sem solução entre inteiros; trata-se do conjunto de números fracionários. A união desse conjunto de números e o dos inteiros forma o conjunto dos números racionais, Q. Geralmente, um número racional é representado na forma de uma fração a/b, isto é, como a divisão de um termo a, ou numerador, por um segundo termo b, ou denominador. Essa representação pode ser substituída pela notação decimal, obtida pela resolução aritmética do quociente a/b. Assim, o número racional 5/8 corresponde ao decimal 0,625. Em alguns casos, o termo decimal se prolonga indefinidamente, como no racional 4/7, cuja equivalência decimal é escrita 0,571428571428..., onde o termo sublinhado se repete infinitamente, sendo denominado período.

Existe, por outro lado, uma série de números racionais cuja forma decimal apresenta uma sucessão infinita de números que não se repetem periodicamente e que constituem o conjunto dos números irracionais. A união dos números racionais e irracionais constitui um novo conjunto denominado números reais, R. Entre os números reais irracionais estão   = 1,41421...

  = 1,7320..., e   = 3,14159... A definição de um último conjunto de números, o dos complexos, C, que inclui os números imaginários, tornou-se possível extrair raízes de números negativos.

Operações aritméticas elementares - As operações aritméticas são classificadas como diretas ou de composição, quando a partir de determinados dados se obtêm os resultados correspondentes, e como inversas ou de decomposição, nos casos em que o resultado e algum dos dados permitem determinar outros valores desconhecidos. No primeiro grupo se enquadram as operações de soma ou adição, multiplicação e potenciação e, no segundo, suas correspondentes inversas: subtração, divisão, radiciação e obtenção de logaritmo ou logaritmação.

Além dos sinais específicos de cada uma dessas operações aritméticas, a formulação matemática se serve de uma série de notações gerais, tais como: >, maior que; <, menor que; =, igual a;  , diferente de; utilizam-se ainda parênteses, colchetes e chaves, para separar as quantidades envolvidas em uma única operação ou em operações sucessivas.

Adição - É a mais simples das operações e por meio dela podemos definir todas as outras. Adicionar dois números ou dois conjuntos de elementos é achar um terceiro número ou conjunto que contenha todas as unidades ou os elementos desses dois números ou conjuntos. A ideia de adicionar está implícita na própria organização do conjunto dos números naturais, pois, para se passar de um número ao seguinte, é preciso somar-lhe uma unidade.

Os números que se adicionam são denominados parcelas e o resultado chama-se soma ou total. A adição é representada pelo sinal convencional +, que se lê mais.

A adição tem as seguintes propriedades: (1) é unívoca, isto é, só apresenta um resultado; (2) é  comutativa, isto é, a ordem das parcelas não altera a soma; (3) é associativa, isto é, duas ou mais parcelas podem ser substituídas pela respectiva soma (é também dissociativa, isto é, uma parcela pode ser substituída pela adição de dois ou mais números dos quais a parcela seja a soma). Além dessas, podem-se incluir outras três propriedades, mais facilmente entendidas por meio de notação simbólica; (4) se b > c, a + b > a + c; (5) se a + b = a + c, b = c; (6) existência de elemento neutro a + 0 = a.

Subtração - É a operação inversa da adição, ou seja, é aquela que, dados a soma de dois números e um deles, tem por finalidade calcular o segundo.

Os números que se subtraem recebem os seguintes nomes: minuendo (correspondente à soma) e subtraendo; o resultado é chamado resto, excesso ou diferença. A subtração é representada pelo sinal -, que se lê menos. A subtração é também unívoca, mas não é associativa nem comutativa.

Multiplicação - É a operação em que se realiza uma adição simplificada de parcelas iguais. Se, por exemplo, se deseja somar dez parcelas iguais a a, pode-se exprimir essa operação 10 x a, (dez vezes a).

A parcela que se repete chama-se multiplicando, o número de vezes que essa parcela aparece chama-se multiplicador, dando-se a ambos o nome de fatores. O resultado da multiplicação denomina-se produto. A multiplicação é representada pelo sinal x, que se lê vezes.

A multiplicação e unívoca, comutativa (a ordem dos fatores não altera o produto), associativa e dissociativa, e apresenta as seguintes propriedades: (1) a x 0 = 0; (2) a x 1 = a; (3) se a x b = a x c, b = c ( ); (4) se b > c, a x b > a x c.

Além disso, é distributiva em relação à adição e à subtração, isto é: para se multiplicar um número pela soma de várias parcelas, pode-se multiplicar esse número por cada uma das parcelas e, em seguida, somar os resultados. Exemplo: para se multiplicar 5 pela adição (2 + 4 + 3), cujo resultado seria 45, pode-se multiplicar 5 por cada parcela, obtendo-se 10, 20 e 15 que, somados, totalizam também 45. Uma consequência imediata dessa propriedade é a retirada dos parênteses no caso de haver um fator externo, ou a operação inversa de colocar um fator comum em evidência: a(b+c+d) = ab+ac+ad.

Divisão - É a operação inversa da multiplicação, ou seja, aquela que, dado o produto de dois números e um deles, tem por finalidade determinar o segundo. Os elementos de uma divisão denominam-se dividendo (equivalente ao produto), divisor e quociente; se este não é exato, diz-se que há um resto. A divisão é indicada pelo sinal   (ou :), que se lê dividido por.

A divisão é unívoca, porém não é comutativa nem associativa. É também distributiva em relação à adição e à subtração. Assim:

A divisão exata pode ser representada pela expressão: D = d.q, onde D representa o dividendo, d o divisor e q o quociente.

A expressão representativa da divisão inexata, ou seja, que deixa resto é: D = d.q + R, em que R representa o resto, donde a chamada propriedade fundamental da divisão: o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, mais o resto.

A divisão apresenta as seguintes propriedades:

(1) Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor pelo mesmo número, quociente não se altera, mas o resto fica multiplicado ou dividido por esse número. Assim, tem-se que:  , deixando resto 2,  , deixando resto 6.

(2) Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica multiplicado ou dividido por esse número.

(3) Multiplicando-se ou dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multiplicado ou dividido por esse número.

(4) A divisão de um número por zero é impossível.

(5) A divisão de zero por qualquer quantidade não nula é igual a zero, pois qualquer número multiplicado por zero é igual a zero.

Potenciação - É a operação que representa o produto simplificado de fatores iguais. Exemplo: 5 x 5 x 5 x 5 = 54 = 625. Daí dizer-se que 625 é a quarta potência de 5.

O fator que se repete é chamado base, o número que indica quantas vezes a base é repetida chama-se expoente ou grau e é escrito à direita e um pouco acima; o resultado chama-se potência.

A segunda potência é chamada quadrado do número e a terceira potência é o cubo do número; as demais não possuem nome especial.

A potenciação é uma operação unívoca e apresenta ainda as seguintes propriedades:

(1) Se m > n, então am > an 

(2) Se a > b, então am > bm 

(3) 1m = 1; 0m = 0

(4) É distributiva em relação à multiplicação. Exemplo: (2 x 3 x 4)2 = 22 x 32 x 42.

(5) Para se multiplicarem potências de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes. Exemplo: a2 + a5 = a7.

(6) Para se dividirem potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Exemplo:  

 (7) Para se elevar uma potência indicada a um expoente, multiplicam-se os expoentes.

Exemplo: (a2)5 = a10.

A potenciação possui duas operações inversas: a radiciação e a logaritmação.

Radiciação - É a operação que, dados a potência de ordem n de um número e o expoente n, tem por finalidade determinar o número.

A radiciação é representada pelo sinal chamado radical:   que se lê "raiz n de a". O número que designa o grau (n) é chamado índice da raiz, o número que fica embaixo do radical é o radicando e o resultado é a raiz. Exemplo:  , que se lê: a raiz cúbica de 64 é igual a 4.

Quando a operação não é possível, isto é, não conduz a resultado exato, diz-se que esse resultado é um número irracional. Exemplos:  . As raízes de índice par de números negativos podem representar números imaginários.

A radiciação é uma operação unívoca, distributiva em relação à multiplicação e à divisão, e apresenta propriedades análogas às da potenciação.

Logaritmação - É a operação, que, dados a potência n de um número a e o valor de a, tem por finalidade determinar o valor do expoente n. Se an = A, diz-se que o logaritmo de A na base a é n, e representa-se por: logaA = n.

A logaritmação é uma operação unívoca, apresenta propriedades análogas às de potenciação e mais as quatro propriedades seguintes:

(1) O logaritmo do produto de vários fatores é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

(2) O logaritmo do quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o do divisor.

(3) O logaritmo da potência n de um número é igual a n vezes o logaritmo do número.

(4) O logaritmo da raiz n de um número é igual ao logaritmo do número dividido por n.

Divisibilidade - Denomina-se divisibilidade o conjunto de regras que se destinam a verificar se um número dado é divisível por outro, ou seja, se esse número dividido pelo outro conduz a uma divisão exata. Em caso afirmativo diz-se que o primeiro número é múltiplo do segundo, ou que é divisível pelo segundo; diz-se também que o segundo número é divisor do primeiro, ou que é submúltiplo, fator ou parte alíquota do primeiro. Exemplo:   (108 é múltiplo de 36, 36 é divisor de 108).

Os critérios pelos quais se pode saber se um número dado é divisível por outro são denominados critérios de divisibilidade. Exemplos:

(1) Um número é divisível por 2 se for par.

(2) Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 5 ou 0.

(3) Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0.

(4) Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4.

(5) Um número é divisível por 25 se o número formado pelos dois últimos algarismos o for, ou seja, se terminar por 00, 25, 50 ou 75.

(6) Um número é divisível por 100 se terminar por 00.

(7) Um número é divisível por 3 (ou 9) quando as somas dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3 (ou 9).

(8) Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos da ordem par, for igual à soma dos algarismos da ordem ímpar ou quando a diferença for 11 ou múltiplo de 11.

Esses critérios permitem calcular o resto da divisão, no caso de não ser exata.

Números primos - São os números que só admitem como divisores eles mesmos e a unidade. Exemplo: 5 é um número primo porque só é divisível por 5 e por 1.

Os números primos apresentam as seguintes propriedades: (1) se um número primo é divisor de um produto de vários fatores, é divisor de pelo menos um dos fatores; (2) todo número não primo pode ser decomposto no produto de fatores primos, sendo única essa decomposição; (3) a sucessão dos números primos é indefinida.

Números compostos - Em virtude da propriedade (2), acima enunciada, os números não primos são denominados números compostos, sendo portanto múltiplos de um ou mais números primos. A condição necessária e suficiente para que um número qualquer N seja múltiplo de outro número N é que contenha todos os fatores primos desse outro, elevados a expoentes iguais ou maiores. Essa importante propriedade conduz ao critério para determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

Mínimo múltiplo comum - É o menor número divisível, ao mesmo tempo, por dois ou mais números. Em virtude de propriedade acima, calcula-se o mínimo múltiplo comum decompondo-se os números em seus fatores primos e tomando-se o produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.

Exemplos:     24 = 23 x 3 =>  60 = 22 x 3 x 5

O mínimo múltiplo comum entre 24 e 60, que se representa por m.m.c. (24, 60), é igual a: 23 x 3 x 5 = 120.

Máximo divisor comum - É o maior número que divide, ao mesmo tempo, dois ou mais números. Escreve-se abreviadamente m.d.c. O máximo divisor comum é determinado pelo produto dos fatores primos comuns aos dois ou mais números, elevados aos menores expoentes.

Exemplos:     180 = 22 x 32 x 5 => 108 = 22 x 33

O máximo divisor comum entre 180 e 108, que se representa por m.d.c. (180, 108), é igual a: 22 x 32 = 36.

Números primos entre si. Dois ou mais números dizem-se primos entre si quando não possuem nenhum divisor comum, exceção feita à unidade. Exemplo: 4 e 9 são primos entre si (embora ambos sejam compostos).

A condição necessária e suficiente para que vários números sejam primos entre si é que não tenham nenhum fator primo comum.

Se dois números são primos entre si, suas potências de qualquer grau são também números primos entre si.

Se um número é primo com vários outros, é também primo com o produto desses outros.

Se cada um dos números a1, a2,...an é primo com cada um dos números b1, b2,...bn, o produto a1, a2,...an é primo com o produto, b1, b2,...bn.

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Teoria dos Limites

Teoria dos Limites

Teoria dos Limites

Chama-se limite um valor constante do qual uma variável matemática pode se aproximar tanto quanto se queira, sem ter necessariamente que alcançá-lo.

Segundo um paradoxo famoso imaginado pelo filósofo grego Zenão de Eléia, o veloz Aquiles jamais conseguiria alcançar uma tartaruga que o precedesse, pois antes de percorrer a distância que os separava teria de percorrer a metade dessa distância, depois a metade da nova distância, e assim, sucessivamente, distâncias cada vez menores e mais próximas de zero, mas sem chegar a zero. O conceito de limite matemático constitui, de certo modo, a expressão científica dessa fábula, pois parte de premissas lógicas semelhantes.

Sucessões, séries e funções. Sucessão é uma aplicação matemática na qual a cada número natural (inteiro e positivo) faz-se corresponder um único valor, inteiro ou fracionário, segundo uma determinada lei de formação. Por exemplo, a sucessão formada pela regra ou termo geral

                             an = 2/n

  onde n = 1, 2, 3, 4, ... (números naturais), resulta em:

                             2, 1, 2/3, 2/4, ...


Diz-se que uma sucessão tem limite (ou é convergente) quando, ao aumentar indefinidamente o valor de n, obtêm-se valores não infinitos, que se aproximam de um resultado único L.

Se o valor de L corresponde ao conceito matemático de infinito ou não é único, diz-se que a sucessão é divergente.

Série é um tipo especial de sucessão, que se expressa pela soma de seus termos, formando-se cada um deles pela aplicação, ao termo anterior, de uma mesma lei de formação. Se a soma dos termos de uma série se aproxima de um limite quando o número de termos tende para o infinito, a série é dita convergente. No caso contrário, é divergente.

As funções reais são aplicações matemáticas a partir do conjunto de números reais, que incluem os inteiros, os fracionários e os irracionais (, número e etc.), sobre si mesmos. Diferentemente das sucessões, que nas representações gráficas aparecem como demarcações de pontos não conexos com certa tendência de propagação, as funções podem ser desenhadas como linhas contínuas.

Diz-se que uma função tem por limite L, ou que converge em L, quando o valor do conjunto inicial x tende a um número b, se, ao se aproximar infinitamente a variável x de b, sua imagem f(x), segundo a função matemática definida, se aproxima de L, e o limite é único.

Continuidade de funções - A condição necessária e suficiente para que uma função seja contínua - ideia intuitiva análoga ao ato de desenhar sem levantar o lápis do papel - é que tenha limite em todos e cada um dos pontos em que está definida. O estudo das funções contínuas é fundamental na disciplina chamada análise matemática, e é a partir dele que se definem as noções de derivada e integral, operações inversas uma em relação à outra e de grande utilidade no tratamento matemático das ciências aplicadas.

Teoria dos Grupos

Teoria dos Grupos

Grupo é um conjunto regido por uma lei de composição interna que satisfaz três propriedades fundamentais: a associativa, a do elemento neutro e a do elemento simétrico. Nesses termos, lei de composição interna é uma operação entre os elementos de um conjunto cujo resultado também pertence ao conjunto. Essa lei depende da qualidade dos componentes do grupo. Se, por exemplo, ele é formado por números, pode ser multiplicativo, e nesse caso a lei de composição se denomina produto; ou aditivo, quando a lei de composição se denomina soma. Se um grupo aditivo atende à propriedade comutativa, diz-se que é um grupo abeliano.

Geralmente, a palavra "grupo" designa um conjunto de elementos análogos, mas em matemática o conceito que ela expressa adquire significado mais retrito e preciso. A matemática moderna procura enunciar as propriedades das operações dentro de conjuntos, que podem ser definidos em função de uma estrutura comum.

Exposição geral - Até os séculos XVIII e XIX os grupos não eram reconhecidos como sistemas matemáticos. Um dos primeiros a atribuir-lhes tal caráter foi o matemático francês Joseph-Louis Lagrange. Outro matemático, também francês, Augustin-Louis Cauchy, iniciou o estudo dos grupos de permutação, entendendo-se permutação como a função que reestrutura um número finito de elementos ou, mais especificamente, função biunívoca de um conjunto finito em relação a si mesmo. Assim, o grupo de permutação será aquele cujos elementos são permutações de um mesmo conjunto e em que o produto de duas permutações coincide com a permutação obtida ao se aplicar cada uma delas, de forma sucessiva. Posteriormente, o conceito de grupo transformou-se num artifício de grande utilidade para resolver complexos problemas no campo da álgebra de conjuntos.

Na teoria de conjuntos definem-se como grupos os conjuntos que satisfaçam uma série de propriedades. Representando-se com o símbolo * uma operação qualquer, que seja uma lei de composição interna definida dentro de um conjunto finito e não vazio, e designando-se com letras minúsculas cada um dos elementos que o constituem, um grupo deve satisfazer os axiomas seguintes:

1. A lei é associativa:

                               a* (b * c) = (a * b) * c

e pode-se consignar o resultado como a * b * c. Isto é, é possível operar primeiro os elementos a e b e seu resultado com c. O resultado é o mesmo que se obtém ao operar primeiro b com c e o resultado com a.

2. Existe um elemento neutro, ou seja, um elemento e que, operado com a, sendo a qualquer outro elemento do conjunto, dê como resultado a:

                                e * a = a * e = a

3. Existe um elemento simétrico: se um elemento opera com outro e o resultado da lei de composição é o elemento neutro, diz-se que o primeiro é simétrico do segundo e vice-versa:

                                     a * a' = e

ou seja, a' é o elemento simétrico de a.

4. Um grupo denomina-se abeliano quando a lei de composição interna definida no conjunto satisfaz a propriedade comutativa. Por isso, podem-se empregar indistintamente os termos grupo comutativo e grupo abeliano:

                                    a * b = b * a

De acordo com essa propriedade, o resultado da operação dos elementos de um grupo não depende da ordem em que nela aparecem.

Desses axiomas derivam uma série de propriedades elementares dos grupos. Assim, por exemplo, o elemento neutro de uma lei de composição é único, e a relação de simetria é recíproca. Se a' é o simétrico de a, a é o simétrico de a´. O simétrico de um elemento é único.

Tipos de grupos - A estrutura de grupo é comum a diferentes tipos de conjunto, em que se definem leis também diversas. Os números inteiros e as frações formam um grupo abeliano para a operação de multiplicação, e os números inteiros positivos e negativos são um grupo abeliano em relação à adição. Nem todo grupo, no entanto, é constituído de números. Em geometria, por exemplo, os deslocamentos também constituem um grupo. Tal é o caso quando, num plano, parte-se de um ponto e chega-se a outro por meio de deslocamento em linha reta. Outro exemplo geométrico são as simetrias de um cubo: as rotações de 90o em volta dos eixos que passam pelos pontos médios das faces superior e inferior apresentam, da mesma forma, estrutura de grupo.

Subgrupos - Chama-se subgrupo o conjunto incluído em outro, de modo que ambos apresentem estrutura de grupo para uma determinada lei de composição interna. Todo grupo admite dois subgrupos impróprios: um é o subconjunto formado unicamente pelo elemento neutro, o outro é o próprio grupo, considerado como subconjunto de si mesmo. Em geometria, as rotações formam um subgrupo dentro do grupo dos movimentos. Os múltiplos de um mesmo número inteiro formam um subgrupo do grupo aditivo dos números inteiros.

Isomorfismo - Dois grupos são isomorfos nos casos em que existe uma relação bijetiva compatível com as leis de composição definidas em ambos. A relação bijetiva define-se como aquela que é ao mesmo tempo injetiva - se cada um dos diferentes elementos de um conjunto tem uma imagem diferente no segundo conjunto - e epijetiva - se todo elemento do segundo conjunto é imagem de um elemento do primeiro.

Os elementos neutros de grupos isomorfos se correspondem particularmente, e o mesmo ocorre com os elementos simétricos. Dois grupos isomorfos diferenciam-se na notação, mas são tratados formalmente de maneira análoga, isto é, as mesmas propriedades são válidas para ambos. Nessa abstração radica a importância dos isomorfismos entre grupos, bem como, em geral, entre estruturas algébricas. Se o isomorfismo se estabelece entre um conjunto e ele mesmo, diz-se que se trata de um automorfismo. Exemplo de automorfismo é a relação biunívoca existente entre os números racionais e seus inversos.

Aplicações - As aplicações da teoria dos grupos estendem-se virtualmente a todos os domínios da matemática. Os grupos abelianos, como suporte dos conceitos de anel, módulo, corpo e espaço vetorial, representam mais da metade da álgebra. A teoria dos grupos topológicos é um capítulo independente da topologia geral. A teoria dos grupos, do norueguês Marius Sophus Lie, domina diversos e importantes campos das ciências aplicadas, como a mecânica, a teoria da relatividade, a física de partículas e a cristalografia.

Álgebra, História da Álgebra

Álgebra, História da Álgebra

 História da ÁlgebraÁlgebra é a parte da ciência matemática que analisa os processos racionais para se efetuar operações tais como a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação, através do auxílio de símbolos que representam números ou elementos não especificados. Com o tempo, o termo passou a incluir o estudo crítico das equações, as propriedades dos polinômios e o estudo das funções e das séries, até constituir o que se denominou de álgebra superior.

No século IX foi publicado o tratado Khitab al-djabr wal mukabala (Breve tratado acerca do cálculo de recuperação e da contratransposição) do matemático e astrônomo árabe Abu Jafar Mohamed ibn Musa al- Khwarizmi, no qual apareciam, pela primeira vez, fórmulas gerais para a resolução de equações de primeiro e segundo graus. O título da obra em árabe deu origem ao vocábulo "álgebra"; do sobrenome do autor, veio a palavra "algarismo".

Na resolução de problemas algébricos, utilizam-se símbolos (letras) não só para representar as quantidades desconhecidas, denominadas incógnitas, como também para designar as quantidades supostamente conhecidas através de termos chamados coeficientes. Esse método apresenta a grande vantagem de permitir a obtenção de fórmulas que resolvem um problema de forma geral, de modo que, para se chegar à solução de um caso particular, basta substituir na expressão algébrica correspondente o valor dos coeficientes.

Histórico - Entre os mais antigos registros de relações matemáticas que, em certo sentido, podem ser consideradas expressões algébricas, cabe mencionar as tábuas de Ahmes, papiro egípcio conservado no Museu Britânico, em Londres.

O conhecimento algébrico experimentou grande desenvolvimento na Grécia clássica, com os princípios da dedução matemática abstrata desenvolvidos pela escola pitagórica e com os trabalhos de Diofanto de Alexandria, matemático grego do século III a.C., que introduziu o uso de símbolos e realizou importantes pesquisas no campo das equações determinadas e indeterminadas. Outros trabalhos que contribuíram para o crescimento da álgebra foram realizados pela escola hindu, representada por figuras como Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara.

Na Europa, a transição para o conhecimento algébrico moderno, durante os séculos XVI e XVII, decorreu das investigações de uma notável escola de especialistas em álgebra, que teve seu centro na Itália. Pertenceram a essa escola Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia, autor da teoria das equações de terceiro grau; Gerolamo Cardano, que realizou cálculos com raízes de números negativos e publicou o tratado Ars magna em 1545, uma compilação do conhecimento matemático da época; e Ludovico Ferrari, descobridor das soluções das equações de quarto grau.

A partir do século XVIII teve início a criação da moderna teoria algébrica, com interpretações decisivas como a de Jean-Baptiste Fourier, criador das funções de variável real e das séries que levam seu nome; e a de Issac Newton e de Gottfried Leibnitz, considerados fundadores do cálculo infinitesimal. Nesse contexto, surgiram noções fundamentais da álgebra como a de função, a de conjunto e a de mudança de variável. Também nessa época, ocorreu a diferenciação entre a tendência que reuniu os avanços nas técnicas de resolução de equações e o cálculo de funções e variáveis e aquela que incorporou os desenvolvimentos lógicos que constituíram os fundamentos da análise matemática.

Em ambas as disciplinas destacaram-se as contribuições de Paolo Ruffini, que afirmou a impossibilidade de se solucionar equações de grau superior a quatro; de Hans Henrik Abel, formulador de importantes teorias sobre as funções algébricas; e de Camille Jordan, que completou os estudos sobre grupos finitos.

Os trabalhos iniciais de outros grandes matemáticos do século XIX, como o barão de Cauchy, Arthur Cayley e William Rowan Hamilton, sofreram um aperfeiçoamento ao longo do qual se estabeleceu a distinção entre a chamada álgebra linear, que estuda os espaços vetoriais e as transformações lineares e na qual se introduzem conceitos tais como sucessões, limites, matrizes e determinantes, e a álgebra de conjuntos, com noções de sistemas algébricos como o grupo, o anel e o corpo.

Notações algébricas - A tendência à generalização, inerente aos estudos algébricos, recorre à utilização de uma série de símbolos e sinais convencionais que, relacionados entre si, constituem as equações, as transformações, as séries, as matrizes etc. Nas equações, as quantidades conhecidas são representadas através das primeiras letras do alfabeto, a, b, c,... e as desconhecidas pelas últimas,... x, y, z. Os termos constantes, por sua vez, são expressos com as letras c ou k, enquanto as quantidades de mesma espécie, porém de grandezas diferentes, são designadas através de sucessões de elementos com índices sobrescritos ou subscritos a', a'', a''' ou a1, a2, a3. No que se refere aos sinais de operação, em álgebra empregam-se alguns símbolos específicos, também utilizados na teoria dos conjuntos, além daqueles habitualmente encontrados nas notações matemáticas. Cabe citar os sinais de parênteses, (), de colchetes, [], e de chaves {}, além de símbolos maior que, >, menor que, <, idêntico a,  , congruente,  , pertencente a,  , e não pertencente a,  , entre outros.

Por outro lado, devido à diferente natureza das disciplinas que fazem uso da álgebra como instrumento de resolução de problemas, várias notações podem ser empregadas na representação dos sistemas e das equações algébricas. Entre elas, se destacam a notação cartesiana, com representação bidimensional entre os eixos coordenados; a notação espacial, na qual se relacionam segmentos e curvas em três dimensões, e o corpus de diagramas e símbolos específicos da teoria dos conjuntos, aplicada no estudo das estruturas algébricas.

Além disso, os números reais, que englobam os números racionais, os inteiros e os naturais, são denominados algébricos quando constituem a solução de uma equação de coeficientes inteiros.

Entretanto, quando os números reais não são algébricos, isto é, não constituem a solução da equação em estudo, são denominados de algarismos transcendentes. Assim, a raiz quadrada de 2,  , solução da equação x2 - 2 = 0, é um número algébrico; o número 2, por outro lado, é transcendente em relação a essa equação.

Os estudos da álgebra permitiram o desenvolvimento de fórmulas gerais para solucionar equações de crescente complexidade. Entre as relativamente simples, a equação de segundo grau, de forma geral ax2 + bx + c = 0, é resolvida com o auxílio da seguinte fórmula:

Álgebra, História da ÁlgebraNa relação acima, a, b, e c são os coeficientes da equação.

Também são conhecidas fórmulas que resolvem genericamente, através de operações de radiciação, as equações de terceiro e quarto graus, ou seja aquelas com incógnitas elevadas ao cubo e à quarta potência.

Embora demonstrada, no século XIX, a impossibilidade de se resolver, mediante uma fórmula geral, equações de grau igual ou superior a cinco, isso não significa que elas não tenham solução, já que, no denominado espaço dos números complexos -- qualquer número que possa ser descrito sob a forma a + bi, sendo a e b números reais e i2 = -1 - toda equação apresenta solução.

Esse princípio, chamado teorema fundamental da álgebra, postula que qualquer equação algébrica de grau n com coeficientes reais ou complexos, apresenta n raízes ou soluções no espaço complexo.

Em função do conteúdo desse teorema, o campo de aplicação da álgebra ultrapassou os limites da matemática prática, alcançando o âmbito da lógica.

Expressões algébricas - A noção de expressão algébrica está relacionada ao conjunto de quantidades numéricas, símbolos e sinais que determinam as diversas operações nos cálculos algébricos. É, portanto, o conjunto dos termos ligados pelos diferentes sinais de operações.

Uma expressão algébrica pode ser classificada de racional, quando não possuir letra no radicando ou letra elevada a expoente fracionário; irracional, quando existirem termos literais nessas posições; inteira, quando não apresenta letra no denominador, nem letra elevada a expoente negativo, denominando-se, caso contrário, fracionária.

Ainda no contexto das expressões algébricas, é necessário apresentar uma série de definições essenciais aos fundamentos desse ramo da ciência matemática. Assim, um termo é uma expressão na qual não aparecem quantidades separadas pelos sinais + e - (por exemplo, 3ab); um monômio é toda expressão inteira constituída por um só termo, e a incógnita ou variável é a notação literal (a, b, x etc.), representativa de uma quantidade desconhecida. Por outro lado, o coeficiente é definido como o número situado à esquerda de cada variável (no termo 3ab, por exemplo 3 é o coeficiente), enquanto que o expoente é o algarismo representado no canto superior direito de uma variável ou valor numérico, e indica quantas vezes tal incógnita ou algarismo deve ser tomada como fator (em a2, por exemplo 2 é o expoente). Por fim, o grau de uma equação é definido como a soma de todos os expoentes das variáveis de um termo. Então, o monômio 5ab2x, apresenta um coeficiente igual a 5, incógnitas a, b e x, expoentes 1, 2 e 1 e uma expressão de quarto grau.

A generalização algébrica tem, na utilização de números negativos, um de seus princípios básicos, cuja noção surgiu da necessidade de expressar, numericamente, as diferentes dimensões que pode adquirir uma magnitude susceptível a variações em sentidos opostos. Do conceito de números negativos, inteiros inferiores a zero e precedidos do sinal -, decorre a noção de soma algébrica, correspondente ao resultado de uma operação na qual a adição de uma quantidade negativa equivale à subtração do valor positivo correspondente.

Outra estrutura algébrica importante é o polinômio, soma algébrica de uma série de monômios, que pode ser denominado, também, segundo o número de termos que o integram. Então, se um polinômio é formado por dois termos, denomina-se binômio; por três, trinômio e assim por diante. Dessa forma, a expressão 2xb - a + 2x3 - 4xa é um polinômio de grau três (o grau do polinômio é definido pelo termo de maior grau) e de quatro termos.

Funções e equações. As operações com polinômios, considerados agora como sucessões de termos algébricos, tornam possível definir uma magnitude, da qual todas as outras seriam dependentes, denominada variável independente, de forma possibilitar a obtenção de seu valor numérico, dentro de um intervalo predefinido. Nesse contexto, se definem as funções algébricas, que contêm indicadas, relativamente à variável independente, as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação, além daquelas funções do tipo f(x,y) = 0, na qual a função aparece como um polinômio de forma xy, onde a variável independente não está explícita.

Por último, inseridos nos estudos de álgebra elementar, estão as equações, instrumentos muito úteis, tanto no ponto de vista teórico quanto prático, definidas como uma igualdade da qual fazem parte uma ou mais incógnitas, que podem adotar valores que tornem essa igualdade verdadeira.

Os meios de resolução de equações algébricas simples de primeiro grau, de forma ax + b = 0, até as mais complexas, de terceiro ou quarto graus, constitui uma das partes fundamentais da álgebra.

Um artifício algébrico de grande utilidade em diversos problemas matemáticos é o sistema de equações, conjunto cuja igualdade é satisfeita para os mesmos valores das incógnitas.

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