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Lógica Matemática

Lógica Matemática

Lógica Matemática
Lógica Matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambiguidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.

Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da matemática.

Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina associada à matemática.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das partes. A trama das relações entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas partes.

As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e deem lugar a certas regras de organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambiguidades se um elemento pertence a um ou a outro sistema.

Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa.

Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia Antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam consequências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.

Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência.

As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.

A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da informática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivas definidas previamente.

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Sextante, Instrumento de Precisão

Sextante

#SextanteSextante é um instrumento de precisão capaz de medir o ângulo formado pelo Sol, pela Lua ou por outro corpo celeste com o horizonte e fornecer indiretamente a posição de um navio ou aeronave.

O nome sextante deve-se à medida do arco - ou limbo - do instrumento, que é de 60o, sexta parte da medida do círculo. Mais antigo é o aparelho similar denominado octante, com ângulo de 45o, e mais recentes são aparelhos análogos que apresentam arcos de aproximadamente 70o.

O aparelho compõe-se de um setor de círculo com um arco graduado de 60o, ao longo do qual se move um braço radial, cujo eixo de rotação é o centro do círculo. Um telescópio montado nesse braço fica alinhado com o horizonte quando o sextante é mantido na posição vertical. A medida do ângulo se faz por meio de um jogo de espelhos: um espelho horizontal fixo, metade transparente e metade prateado, na direção do qual o telescópio está dirigido; e o índice, localizado no eixo de rotação do braço móvel. O braço radial é movimentado até que a imagem do astro, refletida pelo espelho índice, coincida com a linha do horizonte no outro espelho. A distância angular entre o astro e o horizonte pode então ser lida no arco graduado. Com esse ângulo conhecido e a hora exata do dia, tomada de um cronômetro, calcula-se a latitude com a ajuda de tabelas especiais.

Em navegação aérea usa-se um tipo especial de sextante, conhecido como "de bolha". Nele, uma bolha indica artificialmente o horizonte. Menos preciso que o comum, esse tipo de sextante tem, entretanto, a vantagem de não depender das condições de visibilidade para ser utilizado. Também os submarinos, quando em navegação noturna, empregam o sextante de bolha. Para medir ângulos horizontais, o sextante é superado pelo quintante, instrumento baseado no mesmo princípio, mas com um arco de 72o.

Sextante

Análise Matemática

Análise Matemática

Análise MatemáticaDá-se o nome de análise matemática a um conjunto de processos e teorias gerais da matemática que incluem a teoria dos números e dos conjuntos, a teoria das funções, o estudo das equações diferenciais e integrais, o cálculo das variações, a teoria das séries e integrais de Fourier e os aspectos puramente algébricos da teoria do potencial, da probabilidade e da estatística, entre outros.

As diferentes disciplinas matemáticas desenvolveram-se historicamente em ação recíproca com as ciências físicas, cujo vertiginoso progresso aumentou a importância dos métodos da análise matemática.

História. A origem da análise matemática, levando-se em conta seu aspecto fundamentalmente crítico e formal, remonta a pouco mais de cem anos. Os trabalhos pioneiros de Euler, Lagrange, Gauss, Abel e Evariste e Cauchy marcaram o início da reformulação crítica do conhecimento matemático, caracterizada principalmente pela necessidade de deduções rigorosas do ponto de vista lógico, sem as induções e analogias até então muito comuns. A tendência a procurar formas puramente abstratas, sem apoio nas figuras geométricas ou nos objetos concretos, tornou-se dominante.

A importante noção de continuidade, por exemplo, era sempre ligada a uma curva ou a uma superfície, e, como tal, mostrava-se bastante particular e vaga; definida em termos puramente algébricos, adquiriu precisão e generalidade, e pôde interpretar uma série de fatos e propriedades aparentemente paradoxais. Por exemplo: uma função unívoca pode ser representada por uma curva; sua derivada em um ponto é representada pela declividade da reta tangente à curva nesse ponto. Admitia-se como evidente que, desde que a função fosse contínua em um ponto, tinha ela uma derivada nesse ponto (porque a curva seria contínua e poder-se-ia traçar a tangente). Em 1854, Riemann descobriu uma função contínua que não tinha derivada em vários pontos. Pouco depois, Karl Weierstrass descobriu uma função contínua que não tinha derivada em nenhum ponto de um determinado intervalo. Georg Cantor e Dedekind, entre outros, descobriram muitas funções que apresentavam aparentes anormalidades. Essas descobertas mostraram que o raciocínio matemático deve libertar-se das intuições geométricas, por extremamente obscuras e complexas.

Assim, a atenção dos investigadores que criaram a atual análise matemática voltou-se para a realização de uma completa crítica da estrutura dos princípios fundamentais e dos conceitos primitivos das teorias matemáticas.

Entre os conceitos básicos de toda matemática, um deles mereceu especial atenção: o de número, que vinha experimentando sucessivas ampliações à medida que se procuravam resolver os problemas propostos. Outro conceito que mereceu a atenção dos pesquisadores foi o de ordem, indissoluvelmente ligado ao de número, e que recebia semelhantes extensões. Os conceitos de função, de continuidade, de limite e de convergência, já tratados de maneira menos rigorosa por Euler e Lagrange, foram objeto de definições adequadas e rigorosas por parte de Cauchy em Analyse algébrique (1822; Análise algébrica). Deve-se também a Cauchy outra importante contribuição à análise matemática: a teoria das funções analíticas, onde ele estendeu às funções de variáveis complexas as propriedades estudadas por Brook Taylor. O estudo das funções elípticas, iniciado por Abel, foi desenvolvido por Jacobi em seu Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829; Novos fundamentos da teoria das funções elípticas).

A teoria dos números, iniciada por Gauss, foi continuada por Peter Dirichlet, que estudou propriedades da sucessão dos números primos, empregando métodos infinitesimais, e introduziu a noção geral de função como correspondência entre dois conjuntos. Dirichlet formulou também o conceito de séries absolutamente convergentes e estabeleceu as condições precisas para que uma função possa ser desenvolvida em séries de Fourier. Outros cultores da teoria dos números foram Ernst Kummer e Leopold Kronecker, que desenvolveram as ideias propostas por Galois sobre corpos de números (conjuntos aos quais pertencem números e os resultados das operações que se fazem entre eles), que precederam a teoria dos grupos.

As equações integrais e o cálculo funcional, introduzidos por Vito Volterra e David Hilbert, entre outros, integram o panorama atual da análise matemática. A crescente complexidade do conhecimento matemático exige constante vigilância das estruturas básicas dos novos conceitos, dos novos algoritmos, das extensões dos conceitos antigos e de todas as questões ligadas a esses conceitos e algoritmos.

Análise combinatória. Também chamada cálculo combinatório, a análise combinatória estuda e conceitua os processos de formação, contagem e propriedade de agrupamentos que podem ser formados com um número finito de elementos dados e de natureza qualquer, segundo determinados critérios.

Um agrupamento ou coordenação matemática classifica-se de acordo com a maneira como se reúnem seus elementos. Assim, a coordenação simples é aquela em que os elementos entram uma só vez na formação de cada grupo. Quando o elemento ou elementos entram várias vezes na formação do grupo, temos a coordenação com repetição. As letras a, b, c e d, por exemplo, podem formar agrupamentos simples (ab, ac, bc, abc, abcd) ou com repetição (abcc, abbd, acdd, bd aac etc.)

Além disso, dependendo do número de elementos de cada grupo, diz-se que os agrupamentos podem ser unitários (a, b, c, d), binários (ab, ac, bd etc.), terciários (abc, bcd, bcc) e assim por diante.

A análise combinatória é utilizada com muita frequência no estudo do binômio de Newton e dos determinantes, na teoria dos números, no cálculo das probabilidades etc.

Análise funcional. As tentativas de solução das equações da física matemática deram origem à chamada análise funcional. Essas equações, classificadas como equações diferenciais ordinárias, equações de derivadas parciais e equações integrais, têm como incógnitas uma função, isto é, seus espaços de soluções são espaços funcionais, conjuntos cujos elementos são funções.

Atualmente, a análise funcional linear, ou simplesmente análise funcional, é entendida como a teoria geral dos operadores lineares sobre espaços funcionais. Quando os operadores são não-lineares, obtém-se a denominada análise funcional não-linear, de resultados recentes e esparsos, mas de extrema importância por suas aplicações a problemas de dificílima solução.

Como exemplo característico da utilidade da análise funcional nos diversos setores da matemática aplicada, cita-se a teoria das aproximações, que engloba os resultados mais significativos da análise numérica e que é uma consequência direta de teoremas gerais da análise funcional.

Análise harmônica. Fenômenos periódicos relativamente complicados podem ser estudados por meio de componentes mais simples e do mesmo tipo, denominados harmônicos. A análise harmônica estuda a forma de determinar as características dos harmônicos de modo a representar, da melhor maneira possível, um fenômeno físico original. É aplicada em vários campos distintos do conhecimento humano. No domínio da acústica, por exemplo, pode-se, com o uso de um microfone, transformar vibrações sonoras em ondas elétricas que podem ser vistas na tela de um osciloscópio com a forma de uma curva, que depende da qualidade do som. Devido a sua periodicidade, ela pode ser decomposta em uma frequência fundamental e seus harmônicos.

No domínio da engenharia eletrônica, vários exemplos importantes podem ser citados. A não-linearidade em um amplificador provoca o aparecimento de harmônicos, que alteram a qualidade do sinal a ser amplificado. O processo de funcionamento dos aparelhos de rádio depende também da existência de harmônicos.

No campo da distribuição da energia elétrica, a formação de um terceiro harmônico em transformadores trifásicos (decorrente da não-linearidade do núcleo do transformador) pode provocar aquecimento indesejável. Na engenharia mecânica, pode ser usada em estudo de vibrações mecânicas. Até mesmo na medicina encontram-se exemplos de sua aplicação, tais como os encefalogramas.

Análise numérica. No estudo dos métodos para obtenção de soluções quantitativas de problemas formulados matematicamente, de modo a permitir sua utilização prática, usa-se a análise numérica. Ela se aplica também ao estudo da propagação de erros.

A análise numérica está associada a atividades ligadas à computação e compreende problemas díspares como a reserva automática de passagens de uma companhia de aviação, a elaboração de balanços e folhas de pagamento, o controle de estoques e a realização de diagnósticos médicos. Com efeito, foi a existência dos computadores digitais -- capazes de efetuar, em alguns casos, mais de um milhão de operações aritméticas por segundo -- que permitiu que muitos métodos numéricos se tornassem de emprego corrente.

Análise estatística. O objetivo final da pesquisa científica é a interpretação e previsão dos fenômenos. Para isso, pode ser usada a análise estatística, cujos modelos matemáticos se baseiam na teoria das probabilidades. A aplicação desses modelos matemáticos a fenômenos estatísticos pode também ter em vista fins puramente descritivos,  como, por exemplo, quando se pretende estudar as características de um conjunto de dados extraídos de um universo particular, usualmente denominado população, de forma simples e concisa. Nesse caso, os dados são transcritos para uma tabela estatística e representados graficamente. Finalmente, calculam-se as sínteses numéricas, que são as características descritivas do conjunto estudado (média, desvio padrão etc.).

Na maioria dos casos, porém, o objetivo final da investigação estatística não será de natureza puramente descritiva, como é o caso de dados obtidos de amostras, por meio dos quais se estimam as características da população total. A descrição dos elementos observados na amostra constitui, assim, uma fase preliminar da pesquisa, à qual se segue a aplicação da teoria estatística para fins de análise e previsão.

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Algoritmo, Procedimento Geral de Resolução de Problemas Matemáticos

Algoritmo, Procedimento Geral de Resolução de Problemas Matemáticos

#Algoritmo, Procedimento Geral de Resolução de Problemas Matemáticos

Um algoritmo é um procedimento geral de resolução de problemas mediante a execução de uma sequência de passos elementares, a partir dos dados iniciais. O algoritmo da multiplicação de números inteiros, por exemplo, decompõe essa operação em uma sucessão de somas e produtos de números de um só algarismo.
É necessário, na construção de um algoritmo, levar em conta todas as alternativas possíveis de manipulação dos dados disponíveis. A obtenção de algoritmos é particularmente importante quando sua aplicação pode ser mecanizada, como, por exemplo, por meio de um computador. Como essas máquinas só realizam operações muito simples, um programa não passa de um algoritmo formado por instruções que o computador possa executar.

Para resolver problemas matemáticos semelhantes, é útil dispor de um método geral de solução, com regras formais bem definidas. Se o problema apresenta alta complexidade, recorre-se a sua decomposição em uma série de outros algoritmos menos complexos.

Quando se torna necessário optar entre dois algoritmos que resolvem o mesmo problema, deve-se analisar fundamentalmente duas circunstâncias. Primeiro, é preciso ter em conta a rapidez do processo; em segundo lugar, a presença de erros. Como são obtidos a partir de mecanismos de medição, os dados de entrada raramente são exatos e o algoritmo também introduz um erro. Na ausência de outros fatores, cumpre recorrer ao algoritmo que minimize o crescimento do erro. Em muitos casos, ademais, convém considerar o custo econômico embutido na utilização de um ou outro algoritmo.

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Combinações e Arranjos (Matemática)

Combinações e Arranjos (Matemática)

Combinações e Arranjos (Matemática)Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie. 

Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. 

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] 
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} 

Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p) 
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são: 

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 

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Regras gerais sobre a Análise Combinatória 
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto. 

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. 

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis. 

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Número de combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). 

Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. 

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. 

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente. 

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: 

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

o que pode ser reescrito

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p] 

Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m! 

e o denominador ficará:

p! (m-p)! 

Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:

m!
C(m,p) =
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p! (m-p)!

Número de Arranjos simples 
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma tabela com os m elementos de C. 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor amarela para a cor bege. 

Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo. 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como: 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha. 

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo: 

Retirada Número de possibilidades 

1 m 
2 m-1 

3 m-2 

... ... 

p m-p+1 

No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: 

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: 

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} 

e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades 

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? 

Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5x5=25 possibilidades. 

O conjunto solução é: 

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU} 

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? 

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

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História da Matemática - Cronologia

História da Matemática - Cronologia

História da Matemática - Cronologia
Aprox. 30000 a.C.: Povos paleolíticos na Europa central e França registram 'números' em ossos.

Aprox. 25000 a.C.: Desenhos geométricos rudimentares são usados.

Aprox. 5000 a.C.: Um sistema decimal está em uso no Egito.

Aprox. 4000 a.C.: Calendários babilônicos e egípcios em uso.

Aprox. 3400 a.C. Os primeiros símbolos para os números estão em uso no Egito.

Aprox. 3000 a.C. O ábaco é desenvolvido no Oriente Médio e em áreas envolta do Mediterrâneo. Um objeto parecido com o mesmo é usado na China. Numerais hieroglíficos em uso no Egito. Babilônicos começam a utilizar um sistema de numeração sexagesimal para registrar transações financeiras. É um sistema posicional, porém sem uma posição de valor zero.

Aprox. 2770 a.C. Calendário egípcio em uso.

Aprox. 2000 a.C. Harappans adota um sistema decimal uniforme de pesos e medidas.

Aprox. 1950 a.C. Babilônicos resolvem equação quadrática.

Aprox. 1900 a.C. O Papiro Moscou (também conhecido como Papiro Golenishev) é escrito. Ele contém detalhes da geometria Egípcia.

Aprox. 1850 a.C. Babilônicos conhecem o teorema de Pitágoras.

Aprox. 1800 a.C. Babilônicos usam tabelas (tábuas) de multiplicação.

Aprox. 1750 a.C. Os babilônicos resolvem equações algébricas lineares e quadráticas, compilam tábuas de raízes quadradas e cúbicas. Usam o teorema de Pitágoras e matemática para estender o conhecimento de astronomia.

Aprox. 1700 a.C. O Papiro Rhind (também conhecido como Papiro Ahmes) é escrito. Esse papiro mostra que os egípcios desenvolveram muitas técnicas de solução de problemas. Multiplicação é baseada em repetição de duplicações, e divisões em sucessivas divisões por dois.

Aprox. 1360 a.C. Um sistema decimal sem zero começa a ser usado na China.

Aprox. 1000 a.C. Chineses usam tábuas de contagem para calcular. Aprox. 800 a.C. Baudhayana é o autor de uma das mais antigas sulbasutras indianas.

Aprox. 750 a.C. Manava escreve uma Sulbasutra.

Aprox. 600 a.C. Apastamba escreve a sulbasutra mais interessante do ponto de vista da matemática.

Aprox. 575 a.C. Tales de Mileto traz o conhecimento babilônico para a Grécia. Ele usa geometria para resolver problemas como o cálculo da altura de pirâmides e as distâncias de embarcações até a costa.

Aprox. 540 a.C. Um sistema de contagem utilizando-se pauzinhos aparece na China. 530 a.C. Pitágoras de Samos muda-se para Crotona na Itália e ensina matemática, geometria, música e reencarnação.

Aprox. 500 a.C. O sistema numérico sexagesimal babilônico é usado para registrar e predizer a posição do Sol, da Lua e de planetas. Obra de Panini sobre o sânscrito é precursora da moderna teoria formal da linguagem.

Período entre 500 a.C. e 1 d.C.

Aprox. 465 a.C. Hippasus escreve sobre uma esfera de 12 pentágonos, a qual deve se referir ao dodecaedro.

Aprox. 450 a.C. Os gregos começam a utilizar numerais escritos. Zenão de Eléia apresenta o seu paradoxo.

Aprox. 440 a.C. Hipócrates de Cós (ou Chios) escreve Elementos, a primeira compilação de elementos da geometria.

Aprox. 430 a.C. Hípias de Elis inventa o quadratrix do qual ele pode ter se utilizado para triseccionar um ângulo e calcular a quadratura do círculo.

Aprox. 425 a.C. Teodoro de Cirene demonstra que certas raízes quadradas são irracionais. Isso já foi demostrado anteriormente mas não se sabe por quem.

Aprox. 400 a.C. Babilônicos usam um símbolo para indicar uma casa vazia em seus registros numéricos de escrita cuneiforme. Mas não se acredita que esse símbolo era considerado um número.

387 a.C. Platão funda sua Academia em Atenas.

Aprox. 375 a.C. Arquitas de Tarento desenvolve a mecânica. Estuda o problema clássico de duplicação do cubo e aplica a teoria matemática à música.

Aprox. 360 a.C. Eudoxo de Cnidus desenvolve a teoria da proporção e o método da exaustão.

Aprox. 320 a.C. Eudemo de Rodes escreve a História da geometria.

Aprox. 300 a.C. Euclides passa um desenvolvimento sistemático da geometria em seu 'Stoicheion' ('Os Elementos'). Também escreve as leis de reflexão em 'Catoptrics' (do grego 'kátoptron', espelho).

Aprox. 290 a.C. Aristarco de Samos utiliza um método geométrico para calcular a distância do Sol e da Lua à Terra.

Aprox. 250 a.C. Em 'Da Esfera e do Cilindro', Arquimedes mostra a fórmula para o cálculo de volume da esfera e do cilindro. Em 'A medida do círculo' ele mostra uma aproximação do valor do 'pi' que permitirá aproximações melhoradas. Em 'Dos corpos Flutuantes', apresenta o conhecido Princípio de Arquimedes e começa estudos de hidrostática. Escreve trabalhos em geometria bi e tridimensional, estudando círculos, esferas e espirais. Suas ideias são bem à frente das de seus contemporâneos e inclui aplicações de uma forma inicial de integração.

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Zero, Número Que Precede o Inteiro Positivo Um (1)

Zero, Número Que Precede o Inteiro Positivo Um (1)

#Zero, Número Que Precede o Inteiro Positivo Um (1)Zero (0, ou valor nulo) é o número que precede o inteiro positivo um, e todos os números positivos, e sucessor do um negativo (-1), e todos os números negativos.

É elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.

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