Teoria dos Limites

Teoria dos Limites

Segundo um paradoxo famoso imaginado pelo filósofo grego Zenão de Eleia, o veloz Aquiles jamais conseguiria alcançar uma tartaruga que o precedesse, pois antes de percorrer a distância que os separava teria de percorrer a metade dessa distância, depois a metade da nova distância, e assim, sucessivamente, distâncias cada vez menores e mais próximas de zero, mas sem chegar a zero. O conceito de limite matemático constitui, de certo modo, a expressão científica dessa fábula, pois parte de premissas lógicas semelhantes.

Chama-se limite um valor constante do qual uma variável matemática pode se aproximar tanto quanto se queira, sem ter necessariamente que alcançá-lo.

Sucessões, séries e funções

Sucessão é uma aplicação matemática na qual a cada número natural (inteiro e positivo) faz-se corresponder um único valor, inteiro ou fracionário, segundo uma determinada lei de formação. Por exemplo, a sucessão formada pela regra ou termo geral

an = 2/n
onde n = 1, 2, 3, 4, ... (números naturais), resulta em:
2, 1, 2/3, 2/4, ...

Diz-se que uma sucessão tem limite (ou é convergente) quando, ao aumentar indefinidamente o valor de n, obtêm-se valores não infinitos, que se aproximam de um resultado único L.

Se o valor de L corresponde ao conceito matemático de infinito ou não é único, diz-se que a sucessão é divergente.

Série é um tipo especial de sucessão, que se expressa pela soma de seus termos, formando-se cada um deles pela aplicação, ao termo anterior, de uma mesma lei de formação. Se a soma dos termos de uma série se aproxima de um limite quando o número de termos tende para o infinito, a série é dita convergente. No caso contrário, é divergente.

As funções reais são aplicações matemáticas a partir do conjunto de números reais, que incluem os inteiros, os fracionários e os irracionais ( ,  , número e etc.), sobre si mesmos. Diferentemente das sucessões, que nas representações gráficas aparecem como demarcações de pontos não conexos com certa tendência de propagação, as funções podem ser desenhadas como linhas contínuas.

Diz-se que uma função tem por limite L, ou que converge em L, quando o valor do conjunto inicial x tende a um número b, se, ao se aproximar infinitamente a variável x de b, sua imagem f(x), segundo a função matemática definida, se aproxima de L, e o limite é único. Em caso contrário, a função é divergente.

Continuidade de funções

A condição necessária e suficiente para que uma função seja contínua - ideia intuitiva análoga ao ato de desenhar sem levantar o lápis do papel - é que tenha limite em todos e cada um dos pontos em que está definida. O estudo das funções contínuas é fundamental na disciplina chamada análise matemática, e é a partir dele que se definem as noções de derivada e integral, operações inversas uma em relação à outra e de grande utilidade no tratamento matemático das ciências aplicadas.

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