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Sextante, Instrumento de Precisão

Sextante

#SextanteSextante é um instrumento de precisão capaz de medir o ângulo formado pelo Sol, pela Lua ou por outro corpo celeste com o horizonte e fornecer indiretamente a posição de um navio ou aeronave.

O nome sextante deve-se à medida do arco - ou limbo - do instrumento, que é de 60o, sexta parte da medida do círculo. Mais antigo é o aparelho similar denominado octante, com ângulo de 45o, e mais recentes são aparelhos análogos que apresentam arcos de aproximadamente 70o.

O aparelho compõe-se de um setor de círculo com um arco graduado de 60o, ao longo do qual se move um braço radial, cujo eixo de rotação é o centro do círculo. Um telescópio montado nesse braço fica alinhado com o horizonte quando o sextante é mantido na posição vertical. A medida do ângulo se faz por meio de um jogo de espelhos: um espelho horizontal fixo, metade transparente e metade prateado, na direção do qual o telescópio está dirigido; e o índice, localizado no eixo de rotação do braço móvel. O braço radial é movimentado até que a imagem do astro, refletida pelo espelho índice, coincida com a linha do horizonte no outro espelho. A distância angular entre o astro e o horizonte pode então ser lida no arco graduado. Com esse ângulo conhecido e a hora exata do dia, tomada de um cronômetro, calcula-se a latitude com a ajuda de tabelas especiais.

Em navegação aérea usa-se um tipo especial de sextante, conhecido como "de bolha". Nele, uma bolha indica artificialmente o horizonte. Menos preciso que o comum, esse tipo de sextante tem, entretanto, a vantagem de não depender das condições de visibilidade para ser utilizado. Também os submarinos, quando em navegação noturna, empregam o sextante de bolha. Para medir ângulos horizontais, o sextante é superado pelo quintante, instrumento baseado no mesmo princípio, mas com um arco de 72o.

Sextante

Análise Matemática

Análise Matemática

Análise MatemáticaDá-se o nome de análise matemática a um conjunto de processos e teorias gerais da matemática que incluem a teoria dos números e dos conjuntos, a teoria das funções, o estudo das equações diferenciais e integrais, o cálculo das variações, a teoria das séries e integrais de Fourier e os aspectos puramente algébricos da teoria do potencial, da probabilidade e da estatística, entre outros.

As diferentes disciplinas matemáticas desenvolveram-se historicamente em ação recíproca com as ciências físicas, cujo vertiginoso progresso aumentou a importância dos métodos da análise matemática.

História. A origem da análise matemática, levando-se em conta seu aspecto fundamentalmente crítico e formal, remonta a pouco mais de cem anos. Os trabalhos pioneiros de Euler, Lagrange, Gauss, Abel e Evariste e Cauchy marcaram o início da reformulação crítica do conhecimento matemático, caracterizada principalmente pela necessidade de deduções rigorosas do ponto de vista lógico, sem as induções e analogias até então muito comuns. A tendência a procurar formas puramente abstratas, sem apoio nas figuras geométricas ou nos objetos concretos, tornou-se dominante.

A importante noção de continuidade, por exemplo, era sempre ligada a uma curva ou a uma superfície, e, como tal, mostrava-se bastante particular e vaga; definida em termos puramente algébricos, adquiriu precisão e generalidade, e pôde interpretar uma série de fatos e propriedades aparentemente paradoxais. Por exemplo: uma função unívoca pode ser representada por uma curva; sua derivada em um ponto é representada pela declividade da reta tangente à curva nesse ponto. Admitia-se como evidente que, desde que a função fosse contínua em um ponto, tinha ela uma derivada nesse ponto (porque a curva seria contínua e poder-se-ia traçar a tangente). Em 1854, Riemann descobriu uma função contínua que não tinha derivada em vários pontos. Pouco depois, Karl Weierstrass descobriu uma função contínua que não tinha derivada em nenhum ponto de um determinado intervalo. Georg Cantor e Dedekind, entre outros, descobriram muitas funções que apresentavam aparentes anormalidades. Essas descobertas mostraram que o raciocínio matemático deve libertar-se das intuições geométricas, por extremamente obscuras e complexas.

Assim, a atenção dos investigadores que criaram a atual análise matemática voltou-se para a realização de uma completa crítica da estrutura dos princípios fundamentais e dos conceitos primitivos das teorias matemáticas.

Entre os conceitos básicos de toda matemática, um deles mereceu especial atenção: o de número, que vinha experimentando sucessivas ampliações à medida que se procuravam resolver os problemas propostos. Outro conceito que mereceu a atenção dos pesquisadores foi o de ordem, indissoluvelmente ligado ao de número, e que recebia semelhantes extensões. Os conceitos de função, de continuidade, de limite e de convergência, já tratados de maneira menos rigorosa por Euler e Lagrange, foram objeto de definições adequadas e rigorosas por parte de Cauchy em Analyse algébrique (1822; Análise algébrica). Deve-se também a Cauchy outra importante contribuição à análise matemática: a teoria das funções analíticas, onde ele estendeu às funções de variáveis complexas as propriedades estudadas por Brook Taylor. O estudo das funções elípticas, iniciado por Abel, foi desenvolvido por Jacobi em seu Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829; Novos fundamentos da teoria das funções elípticas).

A teoria dos números, iniciada por Gauss, foi continuada por Peter Dirichlet, que estudou propriedades da sucessão dos números primos, empregando métodos infinitesimais, e introduziu a noção geral de função como correspondência entre dois conjuntos. Dirichlet formulou também o conceito de séries absolutamente convergentes e estabeleceu as condições precisas para que uma função possa ser desenvolvida em séries de Fourier. Outros cultores da teoria dos números foram Ernst Kummer e Leopold Kronecker, que desenvolveram as ideias propostas por Galois sobre corpos de números (conjuntos aos quais pertencem números e os resultados das operações que se fazem entre eles), que precederam a teoria dos grupos.

As equações integrais e o cálculo funcional, introduzidos por Vito Volterra e David Hilbert, entre outros, integram o panorama atual da análise matemática. A crescente complexidade do conhecimento matemático exige constante vigilância das estruturas básicas dos novos conceitos, dos novos algoritmos, das extensões dos conceitos antigos e de todas as questões ligadas a esses conceitos e algoritmos.

Análise combinatória. Também chamada cálculo combinatório, a análise combinatória estuda e conceitua os processos de formação, contagem e propriedade de agrupamentos que podem ser formados com um número finito de elementos dados e de natureza qualquer, segundo determinados critérios.

Um agrupamento ou coordenação matemática classifica-se de acordo com a maneira como se reúnem seus elementos. Assim, a coordenação simples é aquela em que os elementos entram uma só vez na formação de cada grupo. Quando o elemento ou elementos entram várias vezes na formação do grupo, temos a coordenação com repetição. As letras a, b, c e d, por exemplo, podem formar agrupamentos simples (ab, ac, bc, abc, abcd) ou com repetição (abcc, abbd, acdd, bd aac etc.)

Além disso, dependendo do número de elementos de cada grupo, diz-se que os agrupamentos podem ser unitários (a, b, c, d), binários (ab, ac, bd etc.), terciários (abc, bcd, bcc) e assim por diante.

A análise combinatória é utilizada com muita frequência no estudo do binômio de Newton e dos determinantes, na teoria dos números, no cálculo das probabilidades etc.

Análise funcional. As tentativas de solução das equações da física matemática deram origem à chamada análise funcional. Essas equações, classificadas como equações diferenciais ordinárias, equações de derivadas parciais e equações integrais, têm como incógnitas uma função, isto é, seus espaços de soluções são espaços funcionais, conjuntos cujos elementos são funções.

Atualmente, a análise funcional linear, ou simplesmente análise funcional, é entendida como a teoria geral dos operadores lineares sobre espaços funcionais. Quando os operadores são não-lineares, obtém-se a denominada análise funcional não-linear, de resultados recentes e esparsos, mas de extrema importância por suas aplicações a problemas de dificílima solução.

Como exemplo característico da utilidade da análise funcional nos diversos setores da matemática aplicada, cita-se a teoria das aproximações, que engloba os resultados mais significativos da análise numérica e que é uma consequência direta de teoremas gerais da análise funcional.

Análise harmônica. Fenômenos periódicos relativamente complicados podem ser estudados por meio de componentes mais simples e do mesmo tipo, denominados harmônicos. A análise harmônica estuda a forma de determinar as características dos harmônicos de modo a representar, da melhor maneira possível, um fenômeno físico original. É aplicada em vários campos distintos do conhecimento humano. No domínio da acústica, por exemplo, pode-se, com o uso de um microfone, transformar vibrações sonoras em ondas elétricas que podem ser vistas na tela de um osciloscópio com a forma de uma curva, que depende da qualidade do som. Devido a sua periodicidade, ela pode ser decomposta em uma frequência fundamental e seus harmônicos.

No domínio da engenharia eletrônica, vários exemplos importantes podem ser citados. A não-linearidade em um amplificador provoca o aparecimento de harmônicos, que alteram a qualidade do sinal a ser amplificado. O processo de funcionamento dos aparelhos de rádio depende também da existência de harmônicos.

No campo da distribuição da energia elétrica, a formação de um terceiro harmônico em transformadores trifásicos (decorrente da não-linearidade do núcleo do transformador) pode provocar aquecimento indesejável. Na engenharia mecânica, pode ser usada em estudo de vibrações mecânicas. Até mesmo na medicina encontram-se exemplos de sua aplicação, tais como os encefalogramas.

Análise numérica. No estudo dos métodos para obtenção de soluções quantitativas de problemas formulados matematicamente, de modo a permitir sua utilização prática, usa-se a análise numérica. Ela se aplica também ao estudo da propagação de erros.

A análise numérica está associada a atividades ligadas à computação e compreende problemas díspares como a reserva automática de passagens de uma companhia de aviação, a elaboração de balanços e folhas de pagamento, o controle de estoques e a realização de diagnósticos médicos. Com efeito, foi a existência dos computadores digitais -- capazes de efetuar, em alguns casos, mais de um milhão de operações aritméticas por segundo -- que permitiu que muitos métodos numéricos se tornassem de emprego corrente.

Análise estatística. O objetivo final da pesquisa científica é a interpretação e previsão dos fenômenos. Para isso, pode ser usada a análise estatística, cujos modelos matemáticos se baseiam na teoria das probabilidades. A aplicação desses modelos matemáticos a fenômenos estatísticos pode também ter em vista fins puramente descritivos,  como, por exemplo, quando se pretende estudar as características de um conjunto de dados extraídos de um universo particular, usualmente denominado população, de forma simples e concisa. Nesse caso, os dados são transcritos para uma tabela estatística e representados graficamente. Finalmente, calculam-se as sínteses numéricas, que são as características descritivas do conjunto estudado (média, desvio padrão etc.).

Na maioria dos casos, porém, o objetivo final da investigação estatística não será de natureza puramente descritiva, como é o caso de dados obtidos de amostras, por meio dos quais se estimam as características da população total. A descrição dos elementos observados na amostra constitui, assim, uma fase preliminar da pesquisa, à qual se segue a aplicação da teoria estatística para fins de análise e previsão.

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Algoritmo, Procedimento Geral de Resolução de Problemas Matemáticos

Algoritmo, Procedimento Geral de Resolução de Problemas Matemáticos

#Algoritmo, Procedimento Geral de Resolução de Problemas Matemáticos

Um algoritmo é um procedimento geral de resolução de problemas mediante a execução de uma sequência de passos elementares, a partir dos dados iniciais. O algoritmo da multiplicação de números inteiros, por exemplo, decompõe essa operação em uma sucessão de somas e produtos de números de um só algarismo.
É necessário, na construção de um algoritmo, levar em conta todas as alternativas possíveis de manipulação dos dados disponíveis. A obtenção de algoritmos é particularmente importante quando sua aplicação pode ser mecanizada, como, por exemplo, por meio de um computador. Como essas máquinas só realizam operações muito simples, um programa não passa de um algoritmo formado por instruções que o computador possa executar.

Para resolver problemas matemáticos semelhantes, é útil dispor de um método geral de solução, com regras formais bem definidas. Se o problema apresenta alta complexidade, recorre-se a sua decomposição em uma série de outros algoritmos menos complexos.

Quando se torna necessário optar entre dois algoritmos que resolvem o mesmo problema, deve-se analisar fundamentalmente duas circunstâncias. Primeiro, é preciso ter em conta a rapidez do processo; em segundo lugar, a presença de erros. Como são obtidos a partir de mecanismos de medição, os dados de entrada raramente são exatos e o algoritmo também introduz um erro. Na ausência de outros fatores, cumpre recorrer ao algoritmo que minimize o crescimento do erro. Em muitos casos, ademais, convém considerar o custo econômico embutido na utilização de um ou outro algoritmo.

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Combinações e Arranjos (Matemática)

Combinações e Arranjos (Matemática)

Combinações e Arranjos (Matemática)Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie. 

Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. 

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] 
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} 

Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p) 
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são: 

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 

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Regras gerais sobre a Análise Combinatória 
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto. 

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. 

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis. 

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Número de combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). 

Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. 

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. 

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente. 

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: 

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

o que pode ser reescrito

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p] 

Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m! 

e o denominador ficará:

p! (m-p)! 

Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:

m!
C(m,p) =
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p! (m-p)!

Número de Arranjos simples 
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma tabela com os m elementos de C. 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor amarela para a cor bege. 

Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo. 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como: 

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm 
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha. 

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo: 

Retirada Número de possibilidades 

1 m 
2 m-1 

3 m-2 

... ... 

p m-p+1 

No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: 

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: 

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} 

e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades 

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? 

Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5x5=25 possibilidades. 

O conjunto solução é: 

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU} 

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? 

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

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História da Matemática - Cronologia

História da Matemática - Cronologia

História da Matemática - Cronologia
Aprox. 30000 a.C.: Povos paleolíticos na Europa central e França registram 'números' em ossos.

Aprox. 25000 a.C.: Desenhos geométricos rudimentares são usados.

Aprox. 5000 a.C.: Um sistema decimal está em uso no Egito.

Aprox. 4000 a.C.: Calendários babilônicos e egípcios em uso.

Aprox. 3400 a.C. Os primeiros símbolos para os números estão em uso no Egito.

Aprox. 3000 a.C. O ábaco é desenvolvido no Oriente Médio e em áreas envolta do Mediterrâneo. Um objeto parecido com o mesmo é usado na China. Numerais hieroglíficos em uso no Egito. Babilônicos começam a utilizar um sistema de numeração sexagesimal para registrar transações financeiras. É um sistema posicional, porém sem uma posição de valor zero.

Aprox. 2770 a.C. Calendário egípcio em uso.

Aprox. 2000 a.C. Harappans adota um sistema decimal uniforme de pesos e medidas.

Aprox. 1950 a.C. Babilônicos resolvem equação quadrática.

Aprox. 1900 a.C. O Papiro Moscou (também conhecido como Papiro Golenishev) é escrito. Ele contém detalhes da geometria Egípcia.

Aprox. 1850 a.C. Babilônicos conhecem o teorema de Pitágoras.

Aprox. 1800 a.C. Babilônicos usam tabelas (tábuas) de multiplicação.

Aprox. 1750 a.C. Os babilônicos resolvem equações algébricas lineares e quadráticas, compilam tábuas de raízes quadradas e cúbicas. Usam o teorema de Pitágoras e matemática para estender o conhecimento de astronomia.

Aprox. 1700 a.C. O Papiro Rhind (também conhecido como Papiro Ahmes) é escrito. Esse papiro mostra que os egípcios desenvolveram muitas técnicas de solução de problemas. Multiplicação é baseada em repetição de duplicações, e divisões em sucessivas divisões por dois.

Aprox. 1360 a.C. Um sistema decimal sem zero começa a ser usado na China.

Aprox. 1000 a.C. Chineses usam tábuas de contagem para calcular. Aprox. 800 a.C. Baudhayana é o autor de uma das mais antigas sulbasutras indianas.

Aprox. 750 a.C. Manava escreve uma Sulbasutra.

Aprox. 600 a.C. Apastamba escreve a sulbasutra mais interessante do ponto de vista da matemática.

Aprox. 575 a.C. Tales de Mileto traz o conhecimento babilônico para a Grécia. Ele usa geometria para resolver problemas como o cálculo da altura de pirâmides e as distâncias de embarcações até a costa.

Aprox. 540 a.C. Um sistema de contagem utilizando-se pauzinhos aparece na China. 530 a.C. Pitágoras de Samos muda-se para Crotona na Itália e ensina matemática, geometria, música e reencarnação.

Aprox. 500 a.C. O sistema numérico sexagesimal babilônico é usado para registrar e predizer a posição do Sol, da Lua e de planetas. Obra de Panini sobre o sânscrito é precursora da moderna teoria formal da linguagem.

Período entre 500 a.C. e 1 d.C.

Aprox. 465 a.C. Hippasus escreve sobre uma esfera de 12 pentágonos, a qual deve se referir ao dodecaedro.

Aprox. 450 a.C. Os gregos começam a utilizar numerais escritos. Zenão de Eléia apresenta o seu paradoxo.

Aprox. 440 a.C. Hipócrates de Cós (ou Chios) escreve Elementos, a primeira compilação de elementos da geometria.

Aprox. 430 a.C. Hípias de Elis inventa o quadratrix do qual ele pode ter se utilizado para triseccionar um ângulo e calcular a quadratura do círculo.

Aprox. 425 a.C. Teodoro de Cirene demonstra que certas raízes quadradas são irracionais. Isso já foi demostrado anteriormente mas não se sabe por quem.

Aprox. 400 a.C. Babilônicos usam um símbolo para indicar uma casa vazia em seus registros numéricos de escrita cuneiforme. Mas não se acredita que esse símbolo era considerado um número.

387 a.C. Platão funda sua Academia em Atenas.

Aprox. 375 a.C. Arquitas de Tarento desenvolve a mecânica. Estuda o problema clássico de duplicação do cubo e aplica a teoria matemática à música.

Aprox. 360 a.C. Eudoxo de Cnidus desenvolve a teoria da proporção e o método da exaustão.

Aprox. 320 a.C. Eudemo de Rodes escreve a História da geometria.

Aprox. 300 a.C. Euclides passa um desenvolvimento sistemático da geometria em seu 'Stoicheion' ('Os Elementos'). Também escreve as leis de reflexão em 'Catoptrics' (do grego 'kátoptron', espelho).

Aprox. 290 a.C. Aristarco de Samos utiliza um método geométrico para calcular a distância do Sol e da Lua à Terra.

Aprox. 250 a.C. Em 'Da Esfera e do Cilindro', Arquimedes mostra a fórmula para o cálculo de volume da esfera e do cilindro. Em 'A medida do círculo' ele mostra uma aproximação do valor do 'pi' que permitirá aproximações melhoradas. Em 'Dos corpos Flutuantes', apresenta o conhecido Princípio de Arquimedes e começa estudos de hidrostática. Escreve trabalhos em geometria bi e tridimensional, estudando círculos, esferas e espirais. Suas ideias são bem à frente das de seus contemporâneos e inclui aplicações de uma forma inicial de integração.

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Zero, Número Que Precede o Inteiro Positivo Um (1)

Zero, Número Que Precede o Inteiro Positivo Um (1)

#Zero, Número Que Precede o Inteiro Positivo Um (1)Zero (0, ou valor nulo) é o número que precede o inteiro positivo um, e todos os números positivos, e sucessor do um negativo (-1), e todos os números negativos.

É elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.

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História da Matemática


História da Matemática

História da Matemática1800 a.C. – Os sumérios, habitantes do Oriente Médio, desenvolvem o mais antigo sistema numérico conhecido. Em vez dos dez algarismos de hoje (0, 1, 2, 3... até 9), o sistema caldeu tinha 60 símbolos. É por isso que uma hora, desde então, é dividida em 60 minutos, e o dia e a noite têm 12 horas (12 é a quinta parte de 60). Pelo mesmo motivo, o ano é dividido em 12 meses. Já na geometria, o círculo tem 360º, que é seis vezes 60.

520 a.C. – O matemático grego Eudoxo de Cnido (400?-350? a.C.) cria uma definição para os números irracionais. São frações que não podem ser escritas na forma usual, como quatro quintos (quatro dividido por cinco) ou três quartos. Um exemplo é a raiz quadrada de 2; não existem dois números que, divididos um pelo outro, deem esse resultado. Para escrever esse número é preciso usar infinitos algarismos. De maneira aproximada, ele vale 1,4142135.

Os gregos e o infinito – Antes de Eudoxo, o filósofo Pitágoras (580 a.C.-500 a.C.), também um matemático brilhante além de líder religioso, tentou banir o estudo dos números irracionais porque não aceitava que eles tivessem de ser escritos com infinitos algarismos. Apesar de seu esforço, os irracionais foram aceitos, como se aceitaram, também, as somas infinitas. Uma delas manda somar 1 mais meio mais a metade de meio, que é um quarto, mais a metade de um quarto (um oitavo) mais a metade disso (um dezesseis avos), e assim por diante, indefinidamente. Mas, se a soma possui infinitas parcelas, como pode ser somada? Pois os gregos arranjaram um meio de fazer a conta, descobrindo que o resultado é simplesmente 2.

300 a.C. – A geometria da Antiguidade chega ao ápice com o grego Euclides. Vivendo em Alexandria, ele sistematiza todos os conhecimentos acumulados até então por seu povo nos dois séculos anteriores, além de diversos teoremas que ele mesmo demonstra. O resultado é o livro Elementos.

250 – Fugindo da tradição grega, que era centrada na geometria, Diofante (século III) inicia um estudo rigoroso de diversos problemas numa área da matemática hoje chamada de álgebra. Uma questão típica algébrica (muito simples): se um homem tem certa idade e seu filho, de 10 anos, a metade dessa idade menos cinco anos, quantos anos tem o pai? Em forma matemática, essa pergunta se escreveria: 10 = x/2 - 5.

500 – O algarismo zero até essa época sempre fica subentendido ao escrever um número que precise dele (como o 10, no sistema atual). Um indiano, cujo nome se perdeu na história, cria um símbolo para o zero. Os árabes começam a usá-lo por volta do ano 700. Em 810, ele aparece explicitamente num texto do sábio Muhammad ibn Al-Khwarizmi (780-850).

1202 – O matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170?-1240) é o primeiro europeu a usar os algarismos arábicos, que são empregados atualmente para escrever os números. Até então, os europeus utilizavam os algarismos romanos, como o I (que vale 1), o V (5) e o X (10). Fibonacci também adota o zero, que os europeus já conheciam, mas, na prática, não empregavam.

1535 – Encontra-se um método para resolver as equações algébricas de terceiro grau. São aquelas em que a incógnita aparece elevada ao cubo, como na equação x³ + 1 = 0. A autoria da fórmula é disputada por dois italianos: Niccolò Tartaglia (1499-1557) e Geronimo Cardano (1501-1576).

1545 – Primeira sugestão de que certas contas podem ter como resultado um número negativo. A proposta causa espanto porque, na época, parece absurdo algo ser menor que nada, ou seja, zero. O italiano Geronimo Cardano, no entanto, usa os novos números para resolver problemas como o de alguém que gastou mais do que possui no banco, tendo então saldo negativo. Assim, ele resolve equações que até então ficavam sem resposta.

1551 – Surge a trigonometria, que facilita muito os cálculos, especialmente os celestes, em que é preciso somar, diminuir ou multiplicar valores de ângulos. A trigonometria estabelece regras que transformam os ângulos em números comuns. Exemplo: em vez de um ângulo de 30º, pode-se falar no seno de 30, que vale 0,5. O criador do novo cálculo é o alemão Georg Joachim Iserin von Lauchen (1514-1576), conhecido como Rético, aluno do astrônomo polonês Nicolau Copérnico .

Complicar para simplificar – Diversas novidades na matemática são criadas para evitar o trabalho que dá efetuar contas muito extensas e em grande quantidade. É assim que surgem tanto a trigonometria como o logaritmo, duas ferramentas de uso bastante sofisticado. Mas quem precisa fazer cálculos muito trabalhosos percebe vantagens numa complicação aparentemente desnecessária. A ciência e a tecnologia não se teriam desenvolvido sem esses instrumentos essenciais.

1591 – O francês François Viète (1540-1603) abandona a prática de escrever matemática por meio de palavras. Até então, as equações, os números e as incógnitas eram apresentados por extenso, de maneira trabalhosa e confusa. Viète passa a representar suas equações utilizando como símbolos as letras do alfabeto. Uma soma, por exemplo, fica assim: x+y = z. Isso torna a resolução de problemas extremamente mais fácil.

1614 – Publica-se a primeira tábua de logaritmos. Seu autor é o escocês John Napier (1550-1617). O logaritmo simplifica cálculos muito trabalhosos por meio do uso de expoentes, como 2³, que significa 2 x 2 x 2. Ou seja, 8.

1637 – Surge a geometria analítica, desenvolvida pelo filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1596-1650). A nova disciplina é uma espécie de mistura entre a álgebra e a geometria, pois Descartes ensina a transformar pontos, retas e circunferências em números. Depois mostra como fazer contas com as figuras geométricas. Na geometria analítica, um ponto pode ser escrito como um par de números na forma (1, 2). Uma reta pode ser uma equação como x + y = b.

O método científico – No mesmo livro em que desenvolve a geometria analítica, Discurso sobre o Método, Descartes também estabelece os fundamentos da ciência da maneira como é entendida até hoje. Para ele, não basta empregar o raciocínio e a lógica para entender a natureza e o mundo. Observar e interpretar os fatos, como faziam os antigos, é importante, mas as interpretações devem ser, em seguida, submetidas à experimentação. Numa palavra, é preciso testar aquilo que se pensa estar acontecendo. Muitos outros sábios, como o italiano Galileu Galilei e o inglês Francis Bacon (1561-1626), escrevem e falam sobre o método científico. Mas é com Descartes que ele ganha aceitação completa.

1654 – O cálculo das probabilidades é criado pelos matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662), que também era físico. Curiosamente, eles desenvolvem esse novo ramo da matemática quase como uma diversão, com base em um problema levado a eles por um jogador de dados, Chevalier de Mere. De Mere pergunta se é possível prever os resultados de um jogo. Os matemáticos dizem que sim - pelo menos em certas circunstâncias e até certo ponto.

1669 – O físico inglês Isaac Newton (1642-1727) inventa o cálculo diferencial e integral. Com ele, torna-se possível calcular a área ou o volume de qualquer figura geométrica, não importa sua forma. Até então, para cada figura era preciso criar uma fórmula diferente.

Revolução matemática – O cálculo diferencial e integral, que Newton desenvolve ao mesmo tempo que o alemão Wilheim Leibniz (1646-1716), revoluciona a matemática. Para saber a área de um círculo, utilizando a nova ferramenta, basta dividir esse círculo em quadrados iguais, bem pequenos. Em seguida, calcula-se a área de um quadrado e multiplica-se pelo número total de quadrados. Com isso, acha-se a área (ou o volume, se for o caso) de qualquer figura. Os quadrados têm de ser infinitamente pequenos para encher toda a borda do círculo, e o número de quadrados precisa ser infinito. Portanto, a área total será uma soma de infinitos termos, tipo de soma que os gregos já sabiam fazer havia mais de 2 mil anos.

1685 – Criação dos chamados números imaginários. Eles aparecem quase como um complemento dos números negativos. Durante muito tempo, ninguém sabe dizer qual seria a raiz quadrada de -1 (menos um). Essa conta não dá -1, pois -1 é raiz de 1 (porque -1 vezes -1 é 1). Ela também não dá 1, que também é raiz de 1. O inglês John Wallis (1616-1703) resolveu a questão criando um número, chamado i, que é a raiz quadrada de -1. Quer dizer que i vezes i dá -1. O i é o mais simples dos números imaginários, que, apesar do nome, são tão verdadeiros quanto os outros números.

1744 – A família de números transcendentais entra para o mundo da matemática encontrada pelo suíço Leonard Euler (1707-1783). Euler estuda as chamadas equações algébricas, que possuem, por exemplo, a forma x²+x+1= 0. Percebe que elas têm todos os tipos de solução: números inteiros, imaginários, irracionais, frações etc. Mas nenhuma equação dessa categoria jamais dá, por exemplo, uma resposta igual a p (3,1416...). Hoje se sabe que existem infinitos números que nunca podem ser solução de uma equação algébrica. São os chamados transcendentais.

1822 – O desenvolvimento da geometria projetiva abre caminho para a geometria moderna. Esse novo ramo de estudo analisa as formas geométricas de vários ângulos. Assim, uma pirâmide vista de cima aparece como um quadrado; vista de lado, torna-se um triângulo. Seu criador é o francês Jean Victor Poncelet (1788-1867).

1824 – O norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) descobre que é impossível resolver as equações de quinto grau. Durante anos, os matemáticos haviam procurado uma fórmula para chegar a um resultado. São equações em que a incógnita vem elevada à quinta potência, na forma x5+x4+x³+x²+x+1 = 0.

1826 – A geometria não euclidiana é criada pelo russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). Segundo ele, para que os teoremas de Euclides sejam válidos é desnecessário supor que só dá para construir uma paralela a uma reta passando por um ponto fora dessa reta. Esse conceito vinha sendo um dos alicerces da geometria desde cerca de 300 a.C. Com base na ideia oposta, de que é possível construir infinitas paralelas a uma reta passando por um ponto fora dessa reta, Lobachevsky elabora a nova geometria.

1874 – Demonstra-se que existem números maiores que o infinito. Eles são chamados pelo alemão Georg Cantor (1845-1918) de transfinitos. Na série dos números inteiros, que vai de 1, 2, 3 até o infinito, há infinitos números. Em outra sequência, além do 1, 2, 3 até o infinito, entram também todas as suas frações (como o 1,0001, por exemplo). Dá para provar que essa sequência é maior que a primeira série. Então, como essa é infinita, a quantidade de números da segunda sequência é maior que o infinito.

1899 – A geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação, mais de dois milênios atrás. O autor é o alemão David Hilbert (1862-1943), que analisa todas as novidades incorporadas à matemática nos séculos anteriores e a geometria é reescrita.

1931 – O alemão Kurt Gödel (1906-1978) demonstra que, dentro de qualquer sistema matemático, como a álgebra ou a geometria, sempre existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.

1977 – A Teoria do Caos começa a se tornar uma disciplina bem estruturada. Diversos pesquisadores trabalham para aprimorá-la, especialmente o norte-americano Robert Stetson Shaw (1945-). Essa teoria surge do estudo de certas figuras geométricas especiais. Uma árvore cujo tronco se divide em dois galhos principais, e cada um deles, por sua vez, reparte-se em dois ramos menores, e assim por diante, contém cópias de si mesma dentro dela e recebe o nome de fractal. Muita coisa na natureza se comporta como um fractal - como os redemoinhos, que contêm redemoinhos menores dentro deles. A Teoria do Caos ensina que todos os fenômenos desse tipo parecem caóticos, mas podem ser colocados em fórmulas matemáticas.

1993 – O matemático inglês Andrew Wiles (1952-) consegue provar o último teorema de Fermat. Esse teorema lida com expressões do tipo 3²+4² = 5² (9+16 = 25) em que o 3, o 4 e o 5 estão elevados ao expoente 2. Fermat afirma, em 1637, que esse tipo de igualdade só dá certo quando o expoente é 2. Ele diz ter a prova dessa descoberta, mas não a apresenta. Até hoje há dúvida sobre a declaração do francês.

1998 – Thomas Hales, da Universidade de Michigan, consegue demonstrar que há uma maneira ideal de agrupar esferas num certo volume. Essa ideia havia sido sugerida pela primeira vez há 387 anos pelo astrônomo alemão Johannes Kepler. Por exemplo: como é possível organizar bolas numa caixa para fazer caber o maior número delas lá dentro? Segundo Kepler, a resposta é a disposição mais simples possível: uma bola do lado da outra, em filas horizontais, e uma exatamente sobre a outra. Provar essa afirmação não é tão fácil quanto parece, e ela tem importância em diversas áreas da ciência, inclusive para a Teoria da Comunicação.

2001 – O matemático Michael Rabin, da Universidade Harvard, nos Estados Unidos, desenvolve um código matematicamente indecifrável, com o qual será possível, no futuro, criar "chaves" eletrônicas para enviar e receber mensagens pela internet. Apenas o remetente e o destinatário, de posse do código, conseguirão saber o seu conteúdo. A descoberta, no entanto, ainda não foi demonstrada publicamente. A ideia consiste, primeiro, em quebrar uma mensagem em uma infinidade de trechos bem pequenos. Depois, esses trechos seriam inseridos em uma imensa sequência de informações sem sentido e enviada em alta velocidade pela internet. O remetente e o destinatário combinam, previamente, em quais pontos da sequência serão inseridos os trechos significativos, que, na chegada da mensagem, serão separados pelo destinatário da enxurrada de bits sem nexo. A velocidade do fluxo não permitiria que um estranho tivesse tempo de fazer a separação. Além disso, a massa de informações que esconde a mensagem seria tão grande que nenhum computador poderia armazená-la para que alguém pudesse decifrá-la depois.

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